多元函数极限与连续.pptx

7-11第八章多元函数微分学多元函数的基本概念偏导数全微分及其应用多元复合函数的求导法则隐函数的求导公式多元函数的极值及其应用

7-128-1多元函数的极限与连续邻域、区域、聚点多元函数的概念二元函数的极限与连续

7-13邻域邻域

7-14例如，即为开集．开集

7-15边界点，连通性

7-16连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，区域

7-17区域:一条或者多条曲线包围而成的平面上的一部分这些围成区域的曲线称为区域的边界边界不是区域的一部分区域和它的边界的并集称为闭区域区域也称为开区域区域的简单描述

7-18有界闭区域；无界开区域．例如，有界点集，无界点集

7-19如果一个区域可以被一个圆心在原点的圆所包含则称该区域是有界的等价定义如果一个区域可以被某个圆所包含则称该区域是有界的一个区域如果不是有界的,就称为是无界的,或者无界区域有界的等价描述

7-110聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.若点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E的聚点.

7-111类似地可定义三元及三元以上函数．二元函数的定义

7-112求的定义域．解所求定义域为例题1

7-113二元函数的图形（如下页图）二元函数的几何表示

7-114二元函数的图形通常是一张曲面.示意图

7-115例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:图形举例

7-116二元函数的极限

7-117说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．几点说明

7-118求证证当时，原结论成立．例题2

7-119求极限解其中例题3

7-120证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．例题4

7-121确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法

7-122二元函数的连续性

7-123讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．例题5

7-124在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理闭区域上连续函数的性质

7-125多元初等函数：由多元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．多元初等函数

7-126例解例题6

7-127例2求下列函数的的定义域并且画出图形

7-128（3）n维空间?n维空间的记号为说明：?n维空间中两点间距离公式

7-129?n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：设两点为

7-130利用点函数的形式有