组合KdV方程的Hamilton系统.doc

组合KdV方程的Hamilton系统 　　【 摘 要 】 本文根据KdV方程的Hamilton系统，构造并证明了组合KdV方程的Hamilton系统。 　　【 关键词 】 组合KdV方程；Hmailton算子；Hmailton系统 　　1 引言 　　KdV和mKdV 方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程，在数学、物理、工程等领域，都有十分重要的应用前景。近些年来，对它们的可积性质的研究不断增多，得到一些结论。 　　本文考虑组合KdV方程 　　ut = δuxxx+auux+bu2ux （δ，a，b为实常数） 　　它可看作一维非线性晶格传播波的模型，也可作为流体力学中的一个模型方程，组合KdV方程是KdV和mKdV方程的复合，既包含有非线性效应，又包含频散作用。 　　对于组合KdV方程，已经得到了一些精确解。下面讨论它的Hmailton系统。 　　19世纪20年代Hmailton在描述几何学时发现了Hmailton系统，成为力学上与Lagrange力学等价的又一种力学描述方式。由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hmailton系统（或它的扰动系统）的形式出现，因此该领域的研究多年来成为人们关注的研究方向。 　　2 相关的定义及定理 　　定义1 对任意函数f（t，x，u），g（t，x，u），定义内积 　　=f（t，x，u）g（t，x，u）dx 　　定理1 线性算子D：Am→Am为Hmailton算子，若其满足： 　　（?。┓炊猿菩裕?D*=-D ； 　　（??）Jacobi恒等式： ++=0，p，q，r为任意向量函数。 　　定义2 一对算子D1，D2称相容的，若它们的线性组合aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b为任意常数。 　　定义3 若非线性演化方程ut=K（u），K（u） ∈Am 　　可以表示成ut=D 　　其中D是Hmailton算子，是泛函∈的变分导数，则称其为一个Hmailton系统。 　　定义4 若非线性演化方程ut=K（u），K（u） ∈Am 　　可以表示成ut=K（u）=D1=D2 　　其中1，2为相应的Hmailton泛函，而且D1，D2为相容的Hmailton算子对，则称其具有双Hmailton系统。 　　定理2 若H（u）∈F，且H=（H）*，则 　　H=， =dλ 　　其中是微分函数的全体，H是Hmailton函数，H是H的Frechét导数，（H）*是H的共轭。 　　3 组合KdV方程的Hmailton系统 　　对于组合KdV方程 　　ut = δuxxx+auux+bu2ux （δ，a，b为实常数） 　　可以写成ut = x （δuxx+u2 +u3 ）=D1 　　即存在D1=x ，1=（uuxx+u3 +u4 ）dx， 　　使等式 ut =D1 　　成立，因此组合KdV方程是一个Hmailton系统。 　　证明：首先证明1存在，即1=（uuxx+u3 +u4 ）dx，取H1=δuxx+u2 +u3 ，则H1 =au+bu2+δ2x，（H1）*=au+bu2+δ2x， 　　即 H1 =（H1）* 　　由定理2可得 　　1=dλ=H1（λu）udxdλ 　　=（ δλuuxx+ λ2u3 +λ3u4）dλdx 　　=（uuxx+u3 +u4 ）dx 　　其次证明D=x为Hmailton算子。 　　因为 （i）D*=-x=-D，满足反对称性； 　　（ii）对于p，q，r为任意向量函数， 　　D1[D1q]=0 ， D1[D1r]=0 ， D1[D1p]=0 　　∴ + + =0 　　满足Jacobi恒等式，因此D=x为Hmailton算子，从而组合KdV方程是一个Hmailton系统。 　　另外，当b=2a=4δ时，组合KdV方程变为 　　ut = δ（uxxx+2uux+4u2ux） 　　可以写成 ut = （3x +ux +ux ）（4δu）=D2=D1 　　即存在 D1=x ，1=δ（uuxx+u3 +u4）dx ， 　　D2=3x +ux +ux ， 2=（2δu2）dx ， 　　使等式 ut =D2 =D1成立，并且算子D1，D2称相容的，因此组合KdV方程在b=2a=4δ时，是一个双Hmailton系统。 　　证明：首先证明2存在，即2=（2δu2）dx 　　取H2=4δu，则H2=4δ， （H2）*=4δ， 即 H2= （H2）* 　　由定理2可得 　　2=dλ=H2（λu）udxdλ 　　=（ 4δλu2 ）dλdx =（2δu2 ）dx 　　其次证明D2=3x +ux +u