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海洋环境下KdV方程的孤波解研究

摘要

近年来，由于很多自然科学的研究中采用的基本方程都是常见的偏微分方程，所以

偏微分方程在计算数学、物理海洋、工程应用等科学研究领域都受到了广泛关注。但是

大多数的偏微分方程的解析解求解复杂、适用性低，于是在如何对偏微分方程进行更合

理的数值求解，便成为了引起当下各个研究领域重点关注的一个问题。

本文主要研究了控制海洋内波的偏微分方程——KdV方程，并采用一种求解偏微分

方程数值解的变限积分法对KdV方程进行了三阶数值格式的构造、求解，因其构造出

的数值格式显现出多种优点，包括物理意义明确、格式具有守恒性、格式多样化等，是

一种理想的、能够按特定的精度要求来构造离散格式的数值方法。然后对KdV理论下

孤立子波的传播过程进行数值模拟。本文的具体研究内容如下：

首先，本文介绍了泰勒公式法，此法便于得出并分析其离散格式的误差精度，可以

根据任意给定的偏微分方程构造n阶精度的离散格式，结合泰勒拟合函数与变限积分法，

研究三阶偏微分方程的数值格式构造，并针对KdV方程，构造出一种新的数值格式，

验证其精度为空间四阶、时间二阶。然后在数值实验中讨论了误差和收敛阶，以及单波

和双波情况的守恒量，根据实验结果验证了数值格式的收敛性和守恒性。

最后，分别根据经典的简单KdV方程和考虑多种因素的多因子作用下KdV方程理

论，对孤立子内波在无底和斜坡底这两种地形下的传播过程进行了数值模拟，根据结果

考察了在传播过程中孤立子各种相关物理量的变化特点，为后续海洋环境下KdV方程

数值模式的研究提供了参考依据。

关键词：变限积分法；泰勒公式法；KdV方程；数值模拟

海洋环境下KdV方程的孤波解研究

ABSTRACT

Inrecentyears,becausethebasicequationsusedinmanynaturalscienceresearchesare

commonpartialdifferentialequations,partialdifferentialequationshavereceivedextensive

attentioninscientificresearchfieldssuchascomputationalmathematics,physical

oceanography,andengineeringapplications.However,theanalyticalsolutionsofmostpartial

differentialequationsarecomplexandhavelowapplicability.Therefore,howtoachievemore

reasonablenumericalsolutionsforpartialdifferentialequationshasbecomeafocusof

attentioninvariousresearchfields.

Thisarticlemainlystudiesthepartialdifferentialequationforcontrollinginternalwaves

intheocean-theKdVequation,andusesavariationalintegrationmethodtosolvethe

numericalsolutionofthepartialdifferentialequationtoconstructandsolvethethird-order

numericalformatoftheKdVequation.Theconstructedn