3角函数的周期性.ppt

三角函数的周期性 * 高一年级数学组 谢 小 青 诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义． x y o X X+2π X X+2π 正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 o y x 4π 8π x o y 6π 12π ３．X及x+T都应在函数的定义域内． 问题：函数f(x)=sinx,x∈R+是不周期函数？２π是不是它的周期？－２π呢？ o y x ２π ４π x＋（－２π） f（ x＋T ）无意义 x 定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． f（ x＋T ）有意义 x＋２π 对于一个周期函数f(x),如果在它的所有正周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正周期是2π. x o y 4π 12π 6π 8π 2π 10π 例 求下列函数的周期： (1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R; (3)y=2sin[(1/2)x-(π/6)],x∈R. 解(1) 是以2π为周期的周期函数. (2) 是以π为周期的周期函数. (3) 是以４π为周期的周期函数． 函数　　　　 由 是不是以11π/3为周期的周期函数？ x o y 4π 8π 2 -2 y=2sin[(1/2)x-(π/6)] 12π 16π 20π 24π 为什么函数f(x)的周期不是11π/3? 　　问：下面的等式的左右两端对x及x+T作用的对应法则是什么？ (1)对x,x+4π作用的法则是 (2)对x,x+11π/3作用的法则分别是 (1)式两端对x及x+4π作用相同的对应法则，而(2)式两端对x及x+11π／３作用不相同的对应法则．而等式f(x+T)=f(x)的两两端是同一个法则，所以两种解法中，第二种是错误的． 结论：由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用的是相同的对应法则f. 一般地，函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R 及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R (其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω0)的周期 　　　　T=2π/ω. 练习： １．求下列函数的周期： 　５．函数f(x)=c(c为常数),x∈R，问函数f(x) 是不周期函数，若是，有无最小正周期？ 　２．等式sin(300+1200)=sin300是否成立？ 如果成立，能否说明1200是正弦函数 y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？ ３．　　　　　是不是周期函数？为什么？ 　４．函数y=cosx,x∈R+是不是周期函数？ -2π是不是它的一个周期？为什么？ 小结： 1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 　2、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用的是相同的对应法则f. 3、 函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数，且A≠0,ω0)的周期T=2π/ω. １．教材Ｐ５８３． ２．利用定义证明y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R (其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω0)的周期T=2π/ω. 作业： *