河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2025届高三第五次调研考试数学试卷（原卷版+解析版）.docx
2025年河北省秦皇岛市昌黎一中高考数学五调试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则等于（）
A. B.
C. D.
2.复数与（其中，为虚数单位）的积是实数的充要条件是（）
A B. C. D.
3.已知向量满足，，与夹角为，且，则的值为（）
A. B. C.1 D.2
4.已知锐角满足，则的值为（）
A. B. C. D.
5.一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（）
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
7.若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数取值范围是（）
A. B. C. D.
8.定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（）
A.
B.
C.
D.对于任意的正数t，恒有
10.已知函数有三个零点，记为，则（）
A.
B.过可作曲线的三条切线
C.
D.
11.法国天文学家乔凡尼?多美尼科?卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（CassiniOval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为．下列结论中，正确的是（）
A.曲线关于轴对称
B.原点始终在曲线的内部
C.当时，面积的最大值为
D.在第一象限的点的纵坐标的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为______．
13.奇函数在处的切线方程为，则它在处的切线方程为______．
14.巴黎奥运会男子足球比赛于北京时间7月24日开始，东道主法国队分在A组，A组中还有美国、新西兰、几内亚三支队伍，每组进行单循环比赛（每两支队伍进行一场比赛），规定：每场比赛获胜的队伍得3分，输的队伍得0分，平局的2支队伍均得1分，小组前2名出线．法国队实力超群，面对任意一名对手时自己胜、负、平的概率都分别为，，，其他三支队伍比赛时水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，每场比赛结果相互独立．已知三轮比赛后法国队获得两胜一平，且第一轮比赛中几内亚、美国都输给对手，则新西兰能积6分出线的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知为锐角三角形，角所对的边分别为，．
（1）求证：；
（2）若，求周长取值范围．
16.焦点在轴上椭圆，离心率为，短轴长为2．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积．
17.如图，四棱锥的底面为矩形，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合），且．
（1）记平面平面，求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）若直线与平面所成的角为，求的长．
18.2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为．
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率；
（2）若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
19.自然常数为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828．它是自然对数的底数，有时以瑞士数学家欧拉命名，称它为欧拉数；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数．它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是．设数列的通项公式为，．
（1）写出数列的前两项；
（2）求证：数