13﹒正规变换和埃尔米特二次型.ppt

第十三讲 正规变换与埃尔米特二次型 定义1 设  是酉空间 V 的一个线性变换, 如果对任意向量  V, 都有 ((), ) = (, ()), 则称  是Hermite变换. 问题 设  是酉空间 V 中的线性变换, 是否存在 L(V), 使得 , V, 有 (, ) = (, ). 定理1 设  是 n 维酉空间 V 中的线性变换, 则存在唯一的 L(V), 使得 , V, 有 (, ) = (, ) 证明 存在性: 设 1, 2,, n 是 V 中一组标准正交基,  在 1, 2,, n 下的矩阵为 A, 由上册P.198定理6.4, 存在唯一 的一个 V 中的线性变换 ,  在 1, 2,, n 下的矩阵为 AH, 设   1, 2,, nX,   1, 2,, nY, A = (aij)nn, 则  = (1, 2,, n)AX,  = (, 2,,n)AHY, 且 唯一性: 设  和  是 n 维酉空间 V 中的两个线性变换, 且 , V, 有 (, ) = (, ), 则 (, (-)) = 0, 取  = (-), 则 (, ) = 0, 故  = 0, 所以 V, 有 (-) = 0, 故  = . 定义2 设  是 n 维酉空间 V 中的线性变换, 由定理1存 在唯一的 V 中的线性变换(记为) *, 使得 , V, 有 (, ) = (, *), 这个线性变换称为  的共轭变换. 设  是酉空间 V 中的Hermite变换, 则 * = . 推论1 设  是 n 维酉空间 V 中的Hermite变换, 1, 2,, n 是 V 中一组标准正交基,  在 1, 2,, n 下的矩阵为 A, 则 AH = A, A 称为Hermite矩阵. 推论2 设  是 n 维酉空间 V 中的酉变换, 1, 2,, n 是 V 中一组标准正交基, 则由P.71定理10.9,  在 1, 2,, n 下的矩阵 A 为酉矩阵, 即 AH = A-1, 故 * = -1. 定义3 设  是 n 维酉空间 V 中的线性变换, 若 * = *, 则称  为正规变换. 设  是 n 维酉空间 V 中的正规变换, 1, 2,, n 是 V 中 一组标准正交基,  在 1, 2,, n 下的矩阵为 A, 则 AAH = AHA, A 称为正规矩阵. 酉变换和Hermite变换都是正规变换, 酉矩阵和Hermite 矩阵都是正规矩阵. 定理2 设  是 n 维酉空间 V 中的正规变换, 若  = , 则 证明 因为  = , 所以 (-) = 0, 要证 (*-) = 0, 推论1 设  是 n 维酉空间 V 中的Hermite变换, 则  的特 征值全是实数. 推论2 设  是 n 维酉空间 V 中的酉变换, 则  的特征值 的绝对值均为1. 定理3 若 n 阶方阵 A 是正规矩阵, 则存在酉矩阵 U, 使得 U1AU = UHAU 是对角阵. 证明 对 n 归纳. 当 n = 1 时, 显然. 设当 A 是 n-1 阶正规 矩阵时命题成立, 现设 1 是 A 的一个特征值, X1 是 A 的 属于 1 的一个单位特征向量, 由上册P.163定理5.12可知 X1 可扩充为 Cn 的一组基, 这组基通过施密特正交化过程 可化为 Cn 的一组标准正交基 X1, X2,…, Xn, 因为 X1, X2, …, Xn 为 Cn 的一组基, 所以存在 n 维向量 Y2,…,Yn, 使 得 AX2 = (X1, X2,…, Xn)Y2,…, AXn = (X1, X2,…, Xn)Yn, 记 (X1, X2,…, Xn) 为 U1, (1e1, Y2,, Yn) 为 B, 则 AU1 = 而 AX1 = 1X1 = (X1, X2,…, Xn)1e1, (AX1, AX2,…, AXn) = (X1, X2,, Xn)(1e1, Y2,…, Yn) = U1 (1e1, Y2,…, Yn) = U1B. U1 是酉矩阵, 且 U1-1AU1 = B. 因为