13.正规变换和埃尔米特二次型.ppt

第十三讲 正规变换与埃尔米特二次型;唯一性: 设 ? 和 ? 是 n 维酉空间 V 中的两个线性变换, 且 ??, ??V, 有 (?, ??) = (?, ??), 则 (?, (?-?)?) = 0, 取 ? = (?-?)?, 则 (?, ?) = 0, 故 ? = 0, 所以 ???V, 有 (?-?)? = 0, 故 ? = ?.;推论1 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的Hermite变换, ?1, ?2,?, ?n 是 V 中一组标准正交基, ? 在 ?1, ?2,?, ?n 下的矩阵为 A, 则 AH = A, A 称为Hermite矩阵.;定理2 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的正规变换, 若 ?? = ??,;定理3 若 n 阶方阵 A 是正规矩阵, 则存在酉矩阵 U, 使得 U?1AU = UHAU 是对角阵.;U1 是酉矩阵, 且 U1-1AU1 = B. 因为 U1-1 = U1H, 所以;令;定理4 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的正规变换, 则 ? 属于不 同特征值的特征向量正交.; 正规矩阵酉对角化的方法;例1 设;令; 如果把 X = (x1, x2,…, xn)T 看作 n 维复向量空间 V 中的 向量 ? 在某组基下的坐标, 那么Hermite型 f(x1, x2,…, xn) = XHAX 也可以记成 f(?) = XHAX. 这种观点下, Hermite型可以看作是向量函数. 只不过函 数值通过坐标来计算. 问题: 如何选择基使得函数的计算更简单. 这相当于化简 Hermite型的矩阵. ; 则由上册第157页定理5.6可知 X = PY, 将 X = PY 代入 f(?) 得到: f(?) = XHAX = (PY)HA(PY) = YHPHAPY, 如 果令 B = PHAP, 则得 f(?) = YHBY. ;定理5 设 f(?) = XHAX 是一个Hermite型, 其中 AH = A, 则(由定理3)存在酉线性替换 X = UY, 其中 U 是酉矩阵, ; 任意一个Hermite型, 总可以经过一个适当的可逆线性 替换, 化成规范形, 规范形是唯一的. 即: 规范形(3)中 的参数 r, p 是唯一确定的. (证略) 规范形中的 p 称为正惯性指数, r-p 为负惯性指数; p-(r-p) = 2p-r 符号差.;定义6 设 f(?) = XHAX 是Hermite型, 若对任何非零向量 ? 都有 f(?) 0, 则称这个Hermite型 f(?) 为正定二次型. 正定Hermite型的矩阵称为正定Hermite矩阵. 例如 XHX 是正定Hermite型.;例2 求参数 t 的范围, 使下列Hermite型为正定Hermite型:;定义7 设 f (?) = XHAX 是Hermite型, 若对任何向量 ? 都 有 f(?) ? 0, 则称这个Hermite型 f(?) 为半正定Hermite型. ;定义8 设 f(?) = XHAX 是Hermite型, 若对任???非零向量 ? 都有 f(?) 0, 则称这个Hermite型 f(?) 为负定二次型. 正定Hermite型的矩阵称为负定Hermite矩阵.;第十三讲 作业