[第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准.doc

第2届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 （1） a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示． 以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有 （2） 设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得 （3） （4） 由图1可知，P点的坐标 （5） （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得 （7） 根据求根公式可得 （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得 (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 (10) 式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 （11） 得 （12） 代入有关数据得 (13) 设P点速度方向与的夹角为(见图2)，根据开普勒第二定律 （14） 其中为面积速度，并有 （15） 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得 （16） 解法二 取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为 （1） 其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知 （2） 将（2）式代入（1）式可得 （3） 以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有 （4） 在近日点，由（3）式可得 （5） 将、、的数据代入（3）式即得 （6） 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 (7) 式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 （8） 可得 （9） 代入有关数据得 (10) 设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为，再根据角动量守恒定律，有 （11） 根据（8）式，同理可得