固体物理教学课件 第三章-声子-复习与习题.ppt

第三章逻辑整理 §3.1 引言； §3.2 原子间的相互作用势能； §3.3 一维单原子链的振动； §3.4 一维双原子链的振动； §3.5 三维晶格振动； §3.6 离子晶体的长光学波； §3.7 晶格热容； §3.8 非简谐效应； §3.9 确定晶格振动谱的实验方法。 3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导 色散关系： ?：力常数 a：晶格常数 从运动方程导出色散关系： 1、如何写出U? 2、如何解方程? 3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导 一、推导U 晶体的总势能： Taylor展开： 1、简谐近似 3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导 一、推导U 2、最近邻近似 3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导 二、求解运动方程 第n个原子的运动方程： 尝试解可写为： 1、提出尝试解 (x=na) 3.1-3.3：一维单原子链色散关系推导 二、求解运动方程 2、求解色散关系 第n个原子的运动方程： —— 色散关系 3.3 其他内容 二、通过画色散关系图谱，发现格波周期性与布里渊区的关系 —— 布里渊区 3.3 其他内容 三、推导ρ(q)，为以后的推导埋下伏笔 一维： 注意与电子气模型里面的ρ(k)类比。 四、在简正坐标下得到声子概念 为什么要用简正坐标？ 为了方便！ 3.3 其他内容 四、在简正坐标下得到声子概念 3.3 其他内容 四、在简正坐标下得到声子概念 简正坐标下的结果是（P90,91）： 如何引入简正坐标？ 为什么说上面是简正坐标呢（88，89）？ 3.3 其他内容 四、在简正坐标下得到声子概念 如果Q(q)是简正坐标，那么由书本3.1节结论就有： 能量本征值为： 所以格波的能量是分立的，所以说，格波最基本的能量单元，就是声子 3.4 一维双原子链 一、推导色散关系 3.4 一维双原子链 一、推导色散关系 3.4 一维双原子链 二、色散关系的相关讨论 （1）色散曲线 3.4 一维双原子链 二、色散关系的相关讨论 （2）光学支以及声学支中原子相对运动规律 3.4 一维双原子链 二、色散关系的相关讨论 （2）光学支以及声学支中原子相对运动规律 3.4 一维双原子链 二、色散关系的相关讨论 （2）光学支以及声学支中原子相对运动规律 3.4 一维双原子链 二、色散关系的相关讨论 （2）光学支以及声学支中原子相对运动规律 3.5 三维晶格振动 略。但是需要清楚： 简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值 对应于三个声学波（1个纵波，2个横波） 晶格振动格波的总数＝3N＝晶体的自由度数 复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个q的取值 对应于3个声学波和3(s-1)个光学波 晶格振动格波的总数＝[3＋3(s-1)]N=3sN=晶体的自由度数 提供思路：声学波是晶格的集体振荡，由于三维来说，集体振荡肯定只有3个 方向，显然就是三个声学波；因为是直角坐标系如果选定某一个入射方向， 那么一定要一个波振荡与传播平行，2个是垂直，所以1个纵、两个横。 练习 质量分别为M和m（设M m）的两种原子以a和a/3相间排成如图所示的一维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为?， (1)写出每种原子的动力学方程式； (2)写出格波方程式； (3)导出色散关系式。 答：若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，第n对大小原子的运动方程为： （1） （2） 取格波方程式为： 练习 上式中，已将固定相位因子 将位移方程代入式（1）中，得到； （3） （4） 由上式解得色散关系为： （6） 整理得： 因振幅A和B不会为零，所以其系数行列式必定为零，即： （5） 3.6 离子晶体中的长光学支(黄昆方程) 首先明确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论 研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程 一、黄昆方程是什么以及其系数推导。 推导的方法是用极限法，选取ω为0以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。 第一个方程：决定离子相对振动的动力学方程 第二个方程：极化方程 3.6 离子晶体中的长光学支(黄昆方程) 首先明确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论 研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程 一、黄昆方程是什么以及其系数推导。 推导的方法是用极限法，选取ω为0以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。 3.6 离子晶体中的长光学支(黄昆方程) 二、长光学支的横波和纵波关系 推导的方法是对方程取旋度和散度