【精选】离散数学第六章.doc

几个典型的代数系统 半群与群 引言：简略介绍群论产生的背景 1. 图形的对称性 如正三角形、正方形（一般地正边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。 画图解释： 2．用根式求解代数方程的根 （1）一元二次方程：。 注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到 上述求根公式。 （2）三次及四次方程的求根公式 一般三次方程: 。 先作变换：用代替后可化成 （不含二次项）， （*） 其中 。 利用恒等式：， 把它与（*）比较得：。 由后面两个关于的方程可得 （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。 关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。 （3）五次及五次以上一般方程的求根公式问题 从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次 及五次以上一般方程的求根公式(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。直到1830年由法国人Galois（伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。 3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。 一．群的定义及简单性质 1定义：设是一个具有二元运算的代数系统，如果同时满足 （1）结合律：即，总成立； （2）存在单位元（也称为幺元，记为），即 （3）中每个元素都有逆元（记为）：即存在，使得， 则称关于运算构成一个群。 注：如果只满足（1），则称关于运算构成半群； 如果只满足（1）（2），则称关于运算构成含幺半群（也叫独异点）。 群根据它所含元素的多少可分为有限群和无限群两大类。 例1. 无限群的例子 都是群，幺元为0，的逆元为。 是群，幺元为1，的逆元为， 这里分别表示全体非零实数与非零复数的集合。 是群，不是群，其中表示全 体阶实矩阵的集合。 幂集关于集合的对称差构成群，幺元为空集， 的逆元为它自己：。 例2 有限群的例子 记，在中定义为模加法：即两个 数相加如果小于，则保持不变；如果相加的结果达到 以上，则除以后取余数。同理可以定义模乘法。 例如，，运算表如下： + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 是群：0是幺元，。 一般的，总是群，幺元为0， 但只是含幺半群而不是群（这里乘法指模乘法）：满足结合律，1是幺元。 例如，的运算表如下： 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 不是群，（0，2没有逆元）. 但是，当为素数时，关于模乘法 构成群。如，乘法为模5乘法： 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 是群：1是幺元，。 其他有限群的例子： （1）Klein（克莱茵）四元群：见下表 . e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 关于以上运算表构成群，记为， 其中是单位元， （即中每个元素的逆元都是它自己） （2）次单位根群：即在复数范围内的个根关于乘法作成的群，记作。注意，的全部根可表 示为，其中。 的单位元为1，，。 例如，时，，所以， 运算表如下： 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 0 1 1 -1 但是也要注意：不是随便一个运算表都能构成群的，如 . a b c a a b c b b a a c c a a 不满足结合律：， ， 两者不相等，不满足结合律，因此以上运算表不构成群。 2. 交换群：满足交换律的群。 例1中的；；，， ，都是交换群群. 非交换群的例子，令 （即阶可逆实矩阵的全体）， 则G关于矩阵乘法构成群，显然它不是交换群。 （因为矩阵乘法不满足交换律） 定理1. 设G是一个群，则 G的单位元唯一； G中每个元素只有唯一的逆元； 若，则 定理2. 设G是群，则 群方程 在 G中各有唯一的解。 例如，取，在群中有方程 ， 它是的形式。由上面定理有 。 定理3. 群总是满足消去律，即，有 （1） （2）。 3. 有限群与无限群 若G只含有限多个元素，则称G为