2017届高考数学二轮复习专题一函数及导数不等式第5讲导数及不等式证明恒成立及能成立问题课件.ppt

探究提高　存在性问题和恒成立问题的区别与联系 存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系：若g(x)≤m恒成立，则g(x)max≤m；若g(x)≥m恒成立，则g(x)min≥m；若g(x)≤m有解，则g(x)min≤m；若g(x)≥m有解，则g(x)max≥m. 【训练2】 (2016·宁波期末)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R). (1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)； (2)设b∈R.若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b的取值范围. 1.不等式恒成立、能成立问题常用解法有： (1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如a＞f(x)max或a＜f(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论. (3)数形结合. 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值. (4)根据单调性及最值，得到所证不等式. 3.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题. 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 第5讲　导数与不等式的证明、恒成立及能 成立问题 高考定位　在高考压轴题中，函数与不等式的交汇是考查热点，常以含指数、对数函数为载体考查不等式的证明、比较大小、范围等问题，以及不等式的恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 考 点 整 合 1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可. (2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解. 2.常见构造辅助函数的四种方法 (1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x). (2)构造“形似”函数：稍作变形后构造.对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数. (3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数. (4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f(x)和g(x)，利用其最值求解. 3.不等式的恒成立与能成立问题 (1)f(x)＞g(x)对一切x∈[a，b]恒成立?[a，b]是f(x)＞g(x)的解集的子集?[f(x)－g(x)]min＞0(x∈[a，b]). (2)f(x)＞g(x)对x∈[a，b]能成立?[a，b]与f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集?[f(x)－g(x)]max＞0(x∈[a，b]). (3)对?x1，x2∈[a，b]使得f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min. (4)对?x1∈[a，b]，?x2∈[a，b] 使得f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min. 热点一　导数与不等式 [微题型1]　利用导数证明不等式 [微题型2]　不等式恒成立求参数范围问题 【例1－2】 (1)已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. 探究提高　(1)利用最值法解决恒成立问题的基本思路是：先找到准确范围，再说明“此范围之外”不适合题意(着眼于“恒”字，寻找反例即可). (2)对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 【训练1】 (2016·浙江五校联考)已知a0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b. (1)证明：当0≤x≤1时， ①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a； ②f(x)＋|2a－b|＋a≥0； (2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围. 热点二　不等式恒成立与能成立问题