2014线性代数例题精选-4.pdf

《线性代数》教学参考资料 《线性代数》例题精选-4 例1 证明实数域 上次数小于 的多项式及零多项式集合： R n R[x ] {a =+a x +a x2 ++a xn−1 a ,a ,,a ∈R} ， n 0 1 2 n−1 0 1 n−1 对于多项式加法和数量乘法运算是否构成R 上的一个线性空间？如果R[x ] 是一线性空间， n 请指出其一个基及其维数。 【证】(1) R[x ] 为非空集合。 n (2)指定实数域R 。 (3)在R[x ] 上定义有加法法则，即多项式加法，对R[x ] 中任任意多项式f (x ),g (x ) ，按照 n n 加法法则，其和 的次数仍不超过 ， ，且是唯一确定的， h(x) f (x) =+g (x) n h(x) ∈R[x]n 满足和的唯一性与加法封闭性。 (4)对R[x ] 中任一多项式 及∀k ∈R ，按照多项式的数量乘法， 的次数仍不超过 n f (x ) kf (x) n ，kf (x) ∈R[x]n ，并且kf (x) 是唯一确定的，即满足数乘的唯一性与数乘封闭性。 (5)加法法则和数乘法则满足八条运算法则：设f (x ),g (x ),h (x ) ∈R [x ]n ，k ,l ∈R ， (i) f (x ) +g (x ) g (x ) =+f (x ) ； (ii) (f (x ) +g (x )) +h (x ) f (x ) =+(g (x ) +h (x )) ； (iii) R[x ] 中存在零多项式，对任意h(x) ∈R[x] ，有h(x) +0 h(x) ； n n (iv) f (x ) a =+a x +a x 2 ++a x n−1 ∈R [x ] ，存在 0 1 2 n−1 n −f (x ) =−a −a x −a x 2 −−a x n−1 ∈R [x ] ，有 0 1 2 n−1 n f (x ) −f (x ) 0 ， (v) 1⋅f (x ) f (x ) 1⋅f (x)=f (x) ； (vi) k (lf (x)) klf (x) ； (vii) (k +l ) f (x) kf (x) =+lf (x) ； (viii) k ( f (x) +g (x)) kf (x) =+kg (x) ， 则R[x ] 成为数域 上的一个线性空间。 R n 例题精选-4 1/ 15 2014-5