柱面上的曲面面积的新型求法.doc
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原问题： 求以极坐标曲线为准线，母线平行于轴的柱面被平面
及截下的有限部分的面积。
解答：对于柱面上的曲面面积一般不使用公式而使用第一类曲线积分。
设为柱面上介于曲线弧和之间的曲面片，且
又设柱面在平面的准线的方程可写成如下参数式
对于本题，就可以按照上述解法如下
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，
如果与曲面上的点有一一对应关系，且，，，则称为正则曲面。
2、正则曲面面积的定义
设正则曲面有参数向量方程表示，。
我们来定义曲面的面积。
用曲线和曲线把曲面分成小块。每一小块在曲面的切平面上的投影的面积可以近似地表示为
，
这样，和式
就可当作的面积的近似值。
加密曲线和曲线，通过极限过程，我们就把此极限值定义为曲面的面积。
定义18.1 设正则曲面有参数向量方程表示，,
我们称
，
为曲面的面积，
并且记 ，
称为曲面的面积元素，
简称面元。
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