12 度量空间的拓扑性质与连续性.doc

1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 第一章 度量空间 PAGE 6 PAGE 5 1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1.2.1 度量空间的拓扑性质 定义1.2.1 邻域 设是度量空间，，，称集合为以为中心，为半径的开球，或的一个邻域．如果不特别强调半径，用表示的半径；称为闭球． 定义1.2.2 内点、开集与闭集 设是一度量空间，，若存在的邻域，则称点为的内点．如果中的每个点均是它的内点，则称为开集．并规定空集为开集．对于，若是开集，则称为闭集． 注1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例1.2.1 度量空间的开球是开集． 证明 ,显然，取，即，则对任何，都有，从而 ． 即,所以是开集．□ 图2.1 例1.2.1和例1.2.2证明示意图 例1.2.2 度量空间的闭球是闭集． 证明 ，显然，取，即，则，有 可见，即，从而为开集，故为闭集． 例1.2.3 设是离散度量空间，是的任意非空子集，证明既是开集又是闭集． 证明 ，取 ，则，故是的内点，从而是开集．由于是的子集，故它是开集，从而是闭集．□ 下面是一些与实数域相类似的开集、闭集性质，仿照相应的证明可证得． 定理1.2.1（开集的性质）度量空间中的开集具有以下性质： (1) 空集和全空间都是开集； (2) 任意多个开集的并集是开集； (3) 有限个开集的交集是开集. 定理1.2.2（闭集的性质）度量空间中的闭集具有以下性质： (1) 空集和全空间都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.3 聚点与闭包 设是一度量空间， ，，如果在的任意邻域内含有中异于的点，则称是的一个聚点或极限点．的全体聚点所构成的集合称为的导集，记为，称称为的闭包，记为． 注2：由聚点的定义知，可以在中，也可以不在中．是的一个聚点的一个等价定义是：的任意一个去心邻域与的交非空． 定理1.2.3 设是度量空间,,,那么下面的命题成立: (1) 当且仅当存在，使得 ； (2) 是闭集； (3) 是闭集当且仅当. 注3： 对于度量空间, 设是的非空子集,则为闭集的充要条件是. 如果,那么为闭集. 定义1.2.4 边界点与孤立点 设是一度量空间，，若的任意邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边界点．的全体边界点所构成的集合，称为的边界，记为．若，但不是的聚点，则称为的孤立点． 注4：是的孤立点的充要条件是：存在的某个邻域，使得． 注5：的边界点不是聚点便是孤立点． 注6：闭包的其他形式表示：．其中表示的全体内点所构成的集合，称其为的内部． 由孤立点的定义可知离散度量空间中的每个点都是孤立点，由例1.2.3知的子集既开又闭，所以． 对于一般的度量空间而言，，的内部是由一些聚点和孤立点组成，的边界也是由一些聚点和孤立点组成，且．的导集是由一些内点和边界点组成，的孤立点要么是边界点要么是内点，且． 1.2.2 拓扑空间 定义1.2.5 拓扑空间 设是一个非空集合，如果是的一个子集族，且满足如下条件： (1)空集和都属于． (2)内任意个集合的并集都仍然会属于． (3)内任意两个集合的交集也仍然会属于． 则称子集族为的拓扑；为一个拓扑空间，在不引起混乱的情形下简记为．内的集合称为拓扑空间的开集，中的元素称为点．□ 对于度量空间而言，若记中由度量定义的开集组成的集合为，那么容易验证为一个拓扑空间，称为由距离诱导的拓扑． 定义1.2.6 离散拓扑空间 设是一个非空集合，由的所有子集构成，容易验证是的一个拓扑，称之为的离散拓扑；并且称拓扑空间为一个离散拓扑空间．在离散拓扑空间中，的每一个子集都既是开集，又是闭集．□ 显然，离散度量空间诱导的拓扑为离散拓扑空间． 定义1.2.7 拓扑空间中的邻域和闭集 设是一个拓扑空间，(1)点，，若存在，使得，则称为的邻域．(2)子集，如果，则称为拓扑空间的闭集．□ 定理1.2.4 拓扑空间中的闭集具有以下性质： (1) 空集和全空间都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.8 Hausdorff空间 设是一个拓扑空间，如果中任意两个不同的点都有不相交的邻域，则称为豪斯道夫(Hausdorff)拓扑空间．□ 例1.2.4 度量空间诱导的拓扑空间是Hausdorff空间． 证明 设且，于是，令 显然，分别是的邻域，且．□ 1.2.3 度量空间的连续性 定义1.2.5 连续与一致连续 设，是两个度量空间，是这两个度量空间之间的一个映射． (1) 关于，如果，，当且时，有，则称在点处连续．若在的每一点处都连续，则称映射在上的连续． (2) 如果，，，当时，有，则称在上一致连续． □ 注7：显