[2018年最新整理]10-1第一类曲线积分.ppt

注 思考： 注 2. 利用对称性 例4 例1-2 曲线积分 与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲面积分 曲线积分 曲面积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 第一类曲线积分 第一节 第十章 一、第一类曲线积分的概念与性质 二、第一类曲线积分的计算 设函数 f (x, y) 在 xOy 面内的分段光滑曲线弧 L 2. 定义 10.1 上有界. 将 L 任意分成 n 个小弧段，设分点为 一、第一类曲线积分的概念与性质 则称该极限值为函数 f (x, y)在曲线L上的第一类 被积函数 积分弧段 积分和式 弧微分 被积表达式 曲线积分或对弧长的曲线积分，记作 1o 当函数 f (x, y)在曲线L上连续时, 曲线积分 存在(充分条件). 3o 4o x y O L (x, y) (x, y) 7o 1o 若积分弧段为空间曲线弧 3o 如果L 是闭曲线 , 则记为 推广 ,则函数 f ( x, y, z )在曲线弧 上对弧长的曲线积分为 定积分 对弧长的曲线积分 但定积分中dx 可能为负. 否！ 是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? x O 要求 ds ? 0, 3. 性质 1o 线性性质： 2o 可加性： 3o 保序性： 基本思路: 计算定积分 转 化 定理10.1 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 二、第一类曲线积分的计算 1. 直接法 点 将曲线L 任意分成 n 份，设各分点对应参数为 对应参数为 证 根据定义 因此 则 因此积分限必须满足下限小于上限： 2o 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 1o 则 2o 如果L为极坐标形式 则 1o 如果曲线 L 的方程为 推广 3o 设空间曲线弧的参数方程为 其中 L 是抛物线 点O (0,0)与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解 上点 例1 计算 计算曲线积分 其中?为螺旋 的一段弧. 解 线 例3 解 x y O x y O 由轮换对称性, 知 解 例5 将圆周表示成参数方程的形式比较困难，由表达形式的对称性可利用对称性计算 点(x, y, z)的坐标满足曲线的方程 例6 解 曲面对称于 截取的柱面面积A是第一卦限 部分面积 圆柱面的准线L的参数方程： 柱面面积 1. 定义 2. 性质 内容小结 3. 计算 ? 对参数方程形式 ? 对显函数形式 ? 对极坐标形式 1.例5中? 改为 如何计算 解 令 , 则 思考题