[2018年最新整理]10()可分离变量的微分方程,齐次方程.ppt

* 可分离变量的微分方程 小结 思考题 作业 第二,三节 可分离变量的 微分方程,齐次方程 第十二章 微分方程 一阶齐次方程 如果一阶微分方程 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程 或 可以写成 的形式, 易于化为形式 特点 变量的微分之积. 两端积分可得通解. 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的方程求通解的步骤是: 分离变量, 两边积分 1. 2. 将上式 一阶微分方程 其中C为任意常数. 由上式确定的函数 就是方程的通解 (隐式通解). 这种解方程的方法称为 分离变量法. 一阶微分方程 例1 求方程 的通解. 解 分离变量 两端积分 为方程的通解. 隐式通解 求解下列微分方程 一阶微分方程 例 解题提示 方程中出现 等形式的项时, 通常要做相应 的变量代换 一阶微分方程 解 求微分得 代入方程 可分离变量方程 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 一阶线性方程. 可分离变量方程 一阶微分方程 方程变形为 二、齐次方程 如果一阶微分方程可以写成 齐次方程. 即 得到 u 满足的方程 即 的形式, 作变量代换 代入 则称之为 可分离变量的方程 分离变量 两边积分, 求出通解后, 就得到原方程的通解. 1. 齐次型方程 例4 解方程 解 将方程写为 齐次方程 方程变为 即 积分得 可分离变量方程 一阶微分方程 分析 解 令 方程变为 齐次方程 可分离变量方程 一阶微分方程 例5 两边积分 即 得通解 分离变量 一阶微分方程 为齐次型方程. (其中h和k是待定的常数) 否则为非齐次型方程. 解法 一阶微分方程 2. 可化为齐次的微分方程 的微分方程 有唯一一组解. 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 一阶微分方程 中必至少有一个为零. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. ● ● 可分离变量. 一阶微分方程 未必有解, 上述方法不能用. 方程可化为 解 代入原方程得 一阶微分方程 例6 是非齐次型方程. 方程组 是齐次型方程. 分离变量法得 方程变为 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 一阶微分方程 即 或 可分离变量的微分方程 分离变量 两端积分 一阶微分方程 三、小结 解法: 隐式(或显式)通解 一阶微分方程 一阶微分方程的解题程序 (1) 审视方程, 判断方程类型; (2) 根据不同类型, 确定解题方案; (3) 若方程的求解最终化为分离变量型的, 则作适当变换; (4) 做变量替换后得出的解, 最后一定要 还原为原变量. 思考题 一阶微分方程 A. 有极大值 B. 有极小值 C. 某邻域内单调增加 D. 某邻域内单调减少 * *