平面几何中存在性问题的常用解法.pdf

6 中 等 数 学 平面几何中存在性问题的常用解法 张 利 民 (黑龙江省大庆市第一中学 , 163458) ( ) ( ) 　　 本讲适合高中 2 如图 2 , AD 、 在国内外各级各类数学竞赛中, 平面几 B E 、CF 两两所成 的 何中的存在性问题以其特有的趣味性 、探索 不超过 90 °的夹角中 性以及题材的广泛性赢得了命题者的青睐. 最大 的一个不小于 本文通过例题将笔者解题的经验和体会呈现 60 °, 不妨 设 AD 、B E 给大家, 以求抛砖引玉. 交于点 P , 且 A PB 图 2 ≥60 °. 1　从特殊情况入手 过点 A 作 A G　B E ,联结 D G、E G. 在解题中, 题 目中给出的特殊的点、线 、 在 △AD G 中 , A GD 、 AD G 必有一个 图形及位置关系往往是解决问题的突破口. 不超过 60 °,不妨设 AD G ≤60 °. ( ) 例 1　 1 凸六边形任意一条边长都大 则 DA G ≥ AD G. 所以, D G ≥A G. 于 1, 是否总可以找到一条长度大于 2 的对 故 AB +D E = GE +D E ≥D G ≥A G =B E 2. 角线; 因此 ,总有一条边长度大于 1. ( 2) 在 凸六边形 AB CD EF 中, 对角线 注 :存在与否应在解题中尽快做出决断. AD 、B E 、CF 的长度都大于 2, 是否总可以找 考虑特殊情况有如黑暗之中的一支探路的拐 到一条长度大于 1的边 ? 棍 ,使解题有了依据. (第八届全苏数学奥林匹克) 例 2　凸四边形 AB CD 所在平面上是否 ( ) 讲解 : 1 考虑正六边形, 过对称中心的 存在一点 P ,使得 A PB 、 B PC、 CPD 、 对角线长度恰好是边长的两倍, 而如果稍作 D PA 的角平分线分别交 AB 、B C、CD 、DA 调整便可得到一个每条对角线长都不超过 2 于点 K、L 、M 、N ,且四边形 KLM N 为平行四边 且每条边长都大于 1的六边形. 形 ? 若存在 ,求所有这样的点 P 的轨迹. 事实上, 如 图 1, ( 1995,世界城市联赛 ) 作六边形 AB CD EF ,使 讲解 :如图 3 ,考 得 △A CE 是边长为 2 虑当 P 为 A C 的垂直 的正三角形 , AD 、B E 、 平分线与 BD 的垂直 CF 都过 中心 O 且长 平分线的交点时 , 由 度都是 2.