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2.9 氢原子 - oriyao.ppt

发布:2017-08-15约2.19千字共31页下载文档
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2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 2.9氢原子 * * 氢原子包含原子核及核外电子,是个二体问题。它的薛定谔方程是: 其中 是库仑势。 引入相对坐标 及 表示体系的总质量, 表示折合质量。 记 及 的三个分量分别为 及 则有: 同理,有 得: 上两式相加后得 代入薛定谔方程得质心坐标系中的薛定谔方程为 令 代入上式后,分离变量得: 方程(2.9.1)式是描写质心运动状态的波函数 所满足的方程,这是能量为 的自由粒子的定态薛定谔方程。由此可见,质心按能量为 的自由粒子的方式运动。 在氢原子问题中,我们特别感兴趣的是原子的内部状态,即电子相对于核的运动状态,而式 (2.9.2)就是一个质量为 的粒子在势能为 的库仑力场中的运动。 下面我们来讨论电子在库仑力场中的运动 电子带电荷 ,核带电荷为 ,当 时这个体系就是氢原子。 其定态薛定谔方程为: 对于有心力场的薛定谔方程,利用球极坐标体系极为方便。 在球极坐标系中: 则拉普拉斯算符: 在定态薛定谔方程在求坐标中具体形式为: 由于,势能只与 有关,与 无关,故可用分离变量法求解 代入薛定谔方程中,得 (2.9.3称角向方程,(2.9.4)称径向方程。 其中 为分离常数。 为使 在 的整个区域都有限,必须 (2.9.3)式的解为: 其中 是缔合勒让德多项式, 是归一化常数。 下面我们来讨论求解径向方程。 我们先简化它,令 ,代入上式 当 时,对于 的任何值,上式都有解,即粒子的能量具有连续值,这相当于电子可以离开原子核而运动到无限远处,即电离。 这里,我们主要研究原子内部机构,所以,只考虑 的情况。 令 同时,令 则径向向方程可改写为: 首先研究它的渐进行为,当 时,方程变为 它的解为 ,而 这 与波函数的有限 性相抵触,所以取: 有: 令 则有 当 时 与 的渐进行为相同 因而 在 时,趋于无穷大,所以级数只能是有限项,令 另一方面,级数 是从 开始的 只由于 ,则 由此得到 的两个根为: 设最高次项里 ,则 令 代入 又有 则有 称为径向量子数, 称为总量子数。 用 表示所有系数 将 代入 由此可见,在束缚态时只有当粒子能量取 分离值时波函数才有满足有限 性的解。 其中 是缔合拉盖尔多项式。 其他表达式: 级数表示 积分形式 微分形式 性质: 递推关系 正交归一性 完备性 其中 式中 由 ,得氢原子的能量本征值为 叫做氢原子的第一玻尔轨道半径,简称玻尔半径。 式中 为正整数,叫主量子数, 与能量本征值 相应的本征函数则为 式中 归一化常数 几点讨论: 能级简并度 对于给定能级 ,其相应角量子 ,磁量子数 ,共有 个可能值,则 属于 能级的量子态数为 径向位置的概率分布 在定态 中,电子出现在 到 的概率为 式中 叫做径向概率分布函数。 2.9氢原子 令分布函数求一阶导数等于零 可得电子概率峰值,峰值位置的 值称为最概然半径。 对于 的态,其所有的量子态的最概然半径为 2.9氢原子 玻尔理论认为氢原子中的电子是处于以 为半径的圆轨道上绕原子核旋转,偏离轨道的位置上不存在原子。但量子力学中,以 为半径的球面是处于发现原子概率最大的位置上,而在偏离球面的位置上发现电子的概率要小些,所以,经典物理学中的“轨道”概念是不能用于描述原子中电子所处的位置的。 角向概率分布 在定态 中,电子出现在
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