数学分析试题库--计算题、解答题--答案整理版.doc

PAGE 37 数学分析题库（1-22章） 四．计算题、解答题 　 求下列极限 解：１. ２． ３． ４.这是型，而 故 原极限＝ 5 6 因， 故原极限＝. 7． 用洛必达法则 8. 9. ; 解法1： 解法2： 10． 解 因， （3分） 故 原式= 求下列函数的导数 解 11 12 13 14 . 15 16 17 18 . 19．； 20.求下列函数的高阶微分：设，求 解 因为 所以 所以 21. 解： 22. 解： 令, 两边对两边对求导有 , 两边对求导有 23. 求由参量方程所确定的函数的二阶导数 解法1： 由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程的导数 解法2： 由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程的导数 24．设, 试求. 解 基本初等函数导数公式，有 , 应用莱布尼兹公式（）得 . 25．试求由摆线方程 所确定的函数的二阶导数. 解 .求到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式. 解 因为 , 所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为 . 27． －２ (－2,－1) －１ (－1,0) ０ － ０ ＋ 不存在 ＋ ０ － 递减，凹 极小值 －３ 递增，凹 递增，凹 极大值 １ 递减，凹 28．解 （1），故对任意正整数m，在连续. （2），故当时，在可导. （3）先计算的导函数.， 由（2）知，，于是当时，有，所以当时，在连续. 29．解 因为，故当时，，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何，有，故是极小值点. （2）当时，有 ，作数列 ，，则，.即在的任何右邻域内，既有数列中的点，也有数列中的点.并且，，所以在内的符号是变化的，从而不满足极值的第一充分条件.又因为 ，，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值. 31．答：能推出在内连续.证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续.由的任意性知，在内连续. 32.试求函数在上的最值和极值. 解 在闭区间上连续, 故必存在最大最小值. 令,得稳定点为. 又因 故在处不可导. 列表如下 不存在 0 0 递减 极小值 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以和为极小值点, 极小值分别为和,为极大值点, 极大值为. 又在端点处有,, 所以函数在处取最小值,在处取最大值. 33.求函数在上的最大最小值： 解：令 令解得函数在的稳定点为, 而， 所以函数在的最大值和最小值分别为 . 34. 确定函数 的凸性区间与拐点: 解：令 解得， 当时，，从而区间为函数的凹区间, 当时，，从而区间为函数的凸区间. 并且，所以为曲线的拐点. 35.设,则是有理数列. 点集非空有界,但在有理数集内无上确界. 数列递增有上界,但在有理数集内无极限. 36.设,则是有理数列. 点集有界无限,但在有理数集内无不存在聚点. 数列满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限. 37.不能从中选出有限个开区间覆盖.因为中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为,则当时,这有限个开区间不能覆盖. 38. 39.令,则 40. 41. 42.令,则有, 43. 令,则有, . 44.. 45.. 46.. 47..其中和式是函数在上的一个积分和,所以. 48..于是 . 49.以平面截椭球面,得一椭圆.所以截面积函数为 .于是椭球面的体积. 50.化椭圆为参数方程: .于是椭圆所围的面积为 . 51.,于是所求摆线的弧长为 . 52.根据旋转曲面的侧面积公式可得所求旋转曲面的面积为 . 53.因为. 于是无穷积分收敛,其值为. 54.因为 于是无穷积分收敛,其值为. 55.因为,从而级数的部分和为 . 于是该级数收敛,其和为. 56.因为,且级数收敛,所以级数收敛. 57.因为,由根式判别法知级数收敛. 58.因为,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但单调递减,且,由莱布尼茨判别法知级数条件收敛. 59. 因为 , 当时,,于是.所以级数的部分和数列 当时有界,从而由狄利克雷判别法知级数收敛; 同法可证级数在上收敛. 又因为,级数发散, 收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.所以级数在条件收敛. 60. 判断函数项级数在区间上的一致收敛性.