线性代数几份考题(东南大学).doc

试 卷 一 一（33%）填空题（表示单位矩阵）： 1． 设，，则 ； ； 2． 设矩阵，，则行列式 ； 3． 若向量组，则当参数 时，线性相关； 4． 矩阵的伴随矩阵= ； 5． 设矩阵及均可逆，，则 ； 6． 分块矩阵的逆矩阵为 ； 7． 设矩阵。若齐次线性方程组的解空间是2维的，则齐次线性方程组的解空间是 维的； 8． 与向量，均正交的一个单位向量为 ； 9． 已知矩阵，，则当数满足条件 时，是正定的； 10． 若实对称矩阵有两个不同的特征值, 且则当参数满足条件 时，矩阵是正定的。 二（12%）求矩阵方程的解，其中， 三（12%）设3阶方阵有特征值，是其相应于特征值 的特征向量，是其相应于特征值的特征向量。 1. 求。 2. 若3阶实对称矩阵的特征值也是，证明：与必定相似。 四（12%）设线性方程组 1． 问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。 五（12%）矩阵。 1. 求一 2. 问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？ 六（12%）设实对称矩阵 1. 求参数； 2. 求一正交矩阵 七（7%）证明题： 1． 设 是矩阵的两个互异的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是的属于的特征向量。证明：线性无关。 2． 已知阶方阵相似于对角阵，并且，矩阵的特征向量均是矩阵的特征向量（注：，的特征值未必相同）。证明． 试 卷 二 一． （24%）填空题： 1． 假设矩阵，则。 2． 假设向量组A：，则当参数满足条件 时，向量组A的秩为1； 时A的秩为2； 时A的秩为3。 3． 若向量是矩阵的特征向量，则。 4． 设矩阵，，且，则参数满足条件 。 5． 若矩阵与对角阵相似，则满足条件 。 6． 若是正交矩阵，则满足条件 。 7． 若对满足条件的实对称矩阵， 都是正定矩阵，则实数必定满足条件 。 二． （8%）求矩阵的行列式的值。 三． （15%）已知矩阵，向量。 1． 若是线性方程组的解，试求的值，并求这时的通解； 2． 若有无穷多组解，但不是的解，求的值。 四． （15%）解矩阵方程 。其中，。 五． （15%）设二次型 1． 写出二次型的矩阵； 2． 求正交变换将化成标准形，并写出相应的标准形。 六． （12%）设3阶矩阵的特征值是（二重）和，且，是的相应于特征值2的特征向量，是的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵及。 七． （5%）已知矩阵，。问：当参数满足什么条件时，矩阵方程有解，但无解？ 八． （6%）证明题： 1． 已知向量组可以由线性表示。若向量组的秩为2，证明：线性无关。 2． 设2阶方阵，且，。若不全为零，证明：不与任何对角阵相似。 试 卷 三 一． （27%）填空题 1． 若矩阵,，且，则的值分别为　 ； 2． 设对任意列向量，，则矩阵 ； 3． 设３阶方阵， 。若的行列式 ，则矩阵的行列式 ； 4． 设为阶可逆方阵，阶矩阵的逆矩阵为 ； 5． 齐次线性方程组的一个基础解系为 ； 6． 若二次型是正定的，则参数的取值范围是　 　； 7． 若是正交矩阵, 则参数的值分别为 ； 8． 假设３阶矩阵的特征值为。则行列式的值为 ； 9． 若实二次型的矩阵分别为，则的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数满足 　 。 二（14%）假设阶矩阵满足。 1． 证明矩阵及均可逆，并分别求及； 2． 证明：若，矩阵肯定不可逆。 三（14%）假设矩阵，。已知线性方程组有无穷多组解。试求参数的值，并求方程组的通解（要求用的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。 四（15%）已知矩阵相似于对角阵。 1． 求参数的值，并求的特征值及相应的特征向量； 2． 求一可逆矩阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵； 3． 问：是否存在正交矩阵，使得为对角阵？试说明你的理由。 五（12%）已知矩阵，矩阵，求矩阵，使得。 六（12%）假