§6实对称矩阵标准形.ppt

上页 下页 返回 结束 §6 实对称矩阵的标准形 在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同 于一个对角矩阵，即存在可逆矩阵C使 成对角形. 现在利用欧氏空间和特征值与特征向量 理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强为： 对于任意一个n级实对称矩阵A， 都存在一个 n 即正交矩阵T，使 成对角形，显然这个对角形不仅与A是合同的，而且 与A是相似的. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值全为实数. 证明：设 是 A的特征值，于是有非零向量 使得 令 其中 为 的共轭复数，则 考察等式 A对称 A是实的 又因为 是非零向量， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 故 从而 即 是一个实数. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对应于实对称矩阵A，在n维欧氏空间Rn上定义 一个线性变换A 如下： 显然A 在标准正交基 下的矩阵就是 A. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引理2 设A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意的 有 或 证明： A对称 是一个实数，视为一个1×1的矩阵 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设A为欧氏空间V上的线性变换，若对于任意 都有 则称为A为对称变换，或自伴随变换. 定义12 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引理3 设A 是对称变换，V1是A的不变子空间，则 也是A 的不变子空间. 证明： 任取 要证 即要证 对于任意的 都有 故 因此， 即 也是A 的不变子空间. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引理3 设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值 的特征向量必正交. 证明： 设 是A的两个不同的特征值， 分 别是属于 的特征向量，即 定义Rn中线性变换 A：A x＝Ax，x∈Rn. 于是 由于 有 因为 所以 即 正交. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理7 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级 正交矩阵T，使得 成对角形. 证明：由实对称阵和对称变换的关系，只要证明 明对称变换A有n个特征向量做成的标准正交基即可. 对空间的维数n作归纳法. n = 1时，显然定理的结论成立. 设 n－1时定理的结论成立.对n维欧氏空间Rn， 线性变换A有一特征向量 其特征值为实数 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 将 单位化，还用 代表它. 作 的正交 补，设为V1. 由引理3，V1是A 的不变子空间，其维数为n－1. 又 A |V1显然也是对称变换， 由归纳假设， A |V1有n－1 个特征向量 作为V1的标准正交基. 从而 是Rn的标准正交基，又是A的n 个特征向量. 定理得证.