数论第1讲数的整除学生版.doc

2 - 第一讲 第一讲 数的整除 知识点拨 知识点拨 一、整除性质 一、整除性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a， c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a， c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a，c∣a． 性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac； 二、常见数字的整除特征 二、常见数字的整除特征 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 例题精讲 例题精讲 已知道六位数20 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？ 例题1 若四位数能被 若四位数能被15整除，则代表的数字是多少？ 例题2 各位数码是0 各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？ 例题3 在865 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。 例题4 修改31743 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？ 例题5 由1 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ 例题6 从0 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？ 例题7 用数字6 用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？ 例题8 从50 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？ 例题9 把若干个自然数1 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 例题10 11个连续两位数的乘积能被 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？ 例题11 一位后勤人员买了72 一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价. 例题12 (2008 (2008“数学解题能力展示”初赛)已知九位数既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？ 例题13 要使能被 要使能被36整除，而且所得的商最小，那么分别是多少？ 例题14 一个4 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少? 例题15 从左向右编号为1 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 例题16 一个19 一个19位数能被13整除，求О内的数字． 例题17 多位数，能被 多位数，能被11整除，最小值为多少？ 例题18 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：.如果此数能被91整除，那么这个三位数是多少？ 例题19 已知：．则 已知：．则？ 例题20