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7 组合变形时杆件的强度计算 7.1 组合变形时杆件横截面上的应力 7.1.1 横截面上只有正应力的情况 拉伸或压缩和弯曲两种基本变形组合时，只在杆件横截面上发生正应力。根据叠加原理，组合变形可以划分为是拉伸或压缩上弯曲变形时，杆件横截面上只是正应力的叠加，相叠加的正应力由于都是横截面法线方向的。所以，应力矢量的叠加可以简化为代数和的问题。 双向弯曲，关于矩形截面的双向弯曲，在6. 中已经讨论过了，这里我们讨论另外的几种情况，考虑圆截面，如图7.1所示。 中性轴图7.1 中性轴 图7.1 圆截面上有两相互垂直的弯矩和，截面上任意一点的应力 （1） 应力为零的点是 这个直线方程给出的是截面的中性轴，由于，所以设直线方程为 （4） 由（2）可以知道，中性轴的方向与合成弯矩的方向垂直，如图7.1所示。 因此，当圆形成空心圆截面梁发生双向弯曲时，可以先确定合成弯矩，然后按单一平面弯曲进行计算，这个单一平面方向就是合成弯矩的方向。 以上的结论，可以推广到的更一般情况。 对于的梁，如果各截面和的比值都相等，那么各截面的中性轴方向就相同，各截面的挠度方向也都相同，即垂直于中性轴方向。双向弯曲的叠加结果（合成弯曲）就是平面弯曲。如果和的比值各截面不同，那么，各截面的中性轴方向不相同，最后的合成弯曲将不是平面弯曲，即轴线弯成一条空间曲线。 不论合成弯曲是否为平面弯曲，各截面的应力按式（1）来计算都是正确的。 图7.2 图7.2 弯曲和拉伸或压缩的组合变形，如图7.2所示。设截面上弯矩为，轴力为，轴力引起的应力为 （3） 弯矩引起的应力为 （4） 按叠加原理，截面内各点的应力 （5） 式（5）表明，截面各点的应力在弯矩引起的应力的基础上再叠加由轴力引起的应力。 下面讨论几种特殊的情况。 第一种特殊情况是轴为对称的截面。由于轴为对称轴，所以，弯矩引起的最大拉应力和最大压应力相等，即 （6） 此时，如果轴力为拉力，那么截面上应力叠加的结果是最大应力为拉应力 （7） 弯矩引起的最大压应力边缘点上的压应力要叠加拉应力，又有三种情况： 1. ，这时弯曲受压一侧边缘点的应力为零，也就是说，弯曲和拉伸组合时，当时，弯曲受压一侧的边缘点处应力为零； 2. ，这时应力叠加的结果是使弯曲受压一侧边缘点也有拉应力，也就是全截面受拉； 3. ，这时应力叠加的结果是使弯曲受压一侧边缘点存在压应力，在截面内将存在中性轴，但中性轴更靠近弯曲受压一侧的边缘。 以上三种情况的讨论，可以用图7.3描述。 =+ = + (a) 图7.3= 图7.3 = + 中性轴通过上侧边缘点 中性轴在截面之外 中性轴 (b) 与上面讨论类似，读者可以自己讨论一下轴为对称轴时，弯曲和压缩的组合问题。 第二种情况是，轴和轴都是对称轴，而我们要讨论的是截面有偏心拉力或压力的问题。 =图7.4 = 图7.4 如图7.4所示，设偏心拉力作用在点处，点位于轴上，其坐标为，并设。由图7.4可知，偏心拉力在轴上时，将向截面形心简化，其结果是截面有轴力和弯矩的组合变形问题，这在之前已经讨论过了，这里，叫做偏心距。 现在，设偏心拉力作用在截面上任意一点，点的坐标为，并设，。这里，和分别叫做拉力对于轴和轴的偏心距。将向截面形心简化，其结果为截面内有轴力，以轴为中性轴的弯矩，以轴为中性轴的弯矩。因此，是双向弯曲和拉伸的组合变形问题，如图7.5所示。 =图7.5 = 图7.5 截面上任意一点的应力为 （8） 也就是 （9） 令，则可以由（9）式确定应力为零的点所构成的直线。这个应力为零的点构成的直线是中性轴。 即 （10） 由式（10）消去，得 （11） 这说明，截面上中性轴的位置只由力的作用点决定，而与的大小无关。 当时，由式（11）可以确定使全截面受拉时在轴上距形心最远的距离 （12） （13） 当截面为矩形时，， 则 类似的， 如图7.6，和在截面分别确定四个点、、、，连接、、、，在截面形心形成一个区域。可以应用式（8）证明，当拉力作用在这个区域内时，截面上各处的应力均为拉应力。很容易地，当为压力时，并作用在这个区域内时，截面上各处均为压应力。使截面内的应力与力一致的的这个作用区域，称为截面核心。由以上分析，我们知道，矩形截面的截面核心为、两轴上到形心距离分别为和四个点围成的棱形。 中性轴图7.7弯曲发生平面 中性轴 图7.7 弯曲发生平面 图7.6 例7.1 试确定圆形和空