2002年全国初中数学竞赛试题及解答.doc

2002年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1．设ab＜0，a2b2＝4ab，则的值为【 】 A、 B、 C、2 D、3已知a1999x＋2000，b1999x＋2001，c1999x＋2002，则多项式a2b2＋c2－ab－bc－ca的值为【 】 A、0 B、1 C、2 D、3如图，点EF分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于【 】 A、 B、 C、 D、 4．设ab、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值【 】 A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0设关于xax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1x2，且x1＜1＜x2a的取值范围是【 】 A、＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、＜a＜0 6．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于【 】 A、 B、 C、 D、a＋b设x1x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。已知ab为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与xa＜b，则的值为 。如图，在△ABCABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。 10．如图，大圆OAB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。 11．满足(n2n－1)n＋2＝1的整数n 个。 12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则dp表示为 。 三、解答题 13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，180000元；由乙、丙两队承包，150000元；由甲、丙两队承包，160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？ 如图，圆内接六边形ABCDEFAB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：（2）求证： 如果对一切xx的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？ = = =3。 2、原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。 3、设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点， 所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则 ,得2x+2y= . 所以S四边形AGCD= .从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3. 4、由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-30,所以x、y、z中至少有一 个大于0. 5、由题知:(x1-1)(x2-1)0, 即x1x2-(x1+x2)+10,代入韦达定理并整理得0,可知选(A). 6、延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b. 填空题（每小题5分，共30分） 7、由Δ=(a-2)2+40知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤- . 8、由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程 t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)= -20.而ab,即a-cb-c.所以a-c0,b-c0.所以原式=b-a. 9、易证:ΔPAB∽ΔBCP,所以= ,得PB=4 10、设⊙O3的半径为x,则O1O3= +x，O1O= ,O3O= - x. 所以( +x)2=( )2+（ - x）2,解得x= ,易得菱形O1O3O2O4的面积为 a2. 11、由题设得n2-n-1=±1,