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第二章 平稳时间序列模型 时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间序列模型。这里讲的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。 * 第一节 一阶自回归模型 第二节 一般自回归模型 第三节 移动平均模型 第四节 自回归移动平均模型 * 第一节 一阶自回归模型 一、一阶自回归模型 如果时间序列 后一时刻的行为主要与其前一时刻 的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即一期记忆，也就是一阶动态性。 描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型: (2.1) 记作AR(1)。其中， 为零均值(即中心化处理后的)平稳序列. 为 对 的依赖程度， 为随机扰动。 * 1. 一阶自回归模型的特点 AR(1)模型也把 分解为独立的两部分：一是依赖于 的部分 ；二是与 不相关的部分 (独立正态同分布序列 ) * 2. AR(1)与普通一元线性回归的区别: (1)普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值； AR(1)模型只需要一组随机变量的观测值。 (2)普通线性回归表示一个随机变量对另一个确定性变量的依存 关系；而AR(1)表示一个随机变量对其自身过去值的依存关系。 (3)普通线性回归是静态模型；AR(1)是动态模型。 (4)二者的假定不同。 (5)普通回归模型实质上是一种条件回归，AR(1)是无条件回归。 * 3. 相关序列的独立化过程 (2.1)式的另一种形式为： (2.2) 上式揭示了AR(1)的一个实质性问题：AR(1)模型是一个使 相关数据转化为独立数据的变化器。由于就AR(1)系统来说， 仅有一阶动态性，即在 已知的条件下， 主要表现为对 的直接依赖性，显然，只要把 中依赖于 的部分 消除以后，剩下的部分 自然就是独立的了。 * 二、 AR(1)模型的特例——随机游动 1. 时的AR(1)模型： 此时(2.1)式的具体形式为 也可以用差分表示 或 所谓差分，就是 与其前一期值的差，从统计上讲，差分结 果所得到的序列就是逐期增长量。 一般地k阶差分记作 差分可以使非平稳序列转化为平稳序列。Box-Jenkins(简记 B-J)，就是利用类似于这种数学工具来处理非平稳序列的。 。 * * 2. 特例形式的特性： (1)系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也就是说，系统在t-1 和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致。差异完全是由扰动 引起的。 (2)在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应 ，即 (3)系统行为是一系列独立随机变量的和，即 * 第二节 一般自回归模型 对于自回归系统来说，当 不仅与前期值 有关，而且与 相关时，显然，AR(1)模型就不再是适应模型了。如果对这种 情形拟合AR模型， 不仅对 ,而且对 呈现出一定的相关性， 因此，AR(1)模型就不适应了。 * 一、 的依赖性 对 当AR(1)模型中的 与 不独立时,我们将 记为 ,于是 可以分解为 (2.3) 从而(2.3)式的形式变为 (2.4) 可见， 与 和 有关，所以(2.4)式是一个AR(2)模型。 * 二、 AR(2)模型的假设和结构 1. AR(2)模型的基本假设: (1) 假设 与 和 有直接关系,而与 无关; (2) 是一个白噪声序列。 这就是AR(2)模型的两个基本假设。 2. AR(2)模型的结构: AR(2)模型是由三个部分组成的：第一部分是依赖于 的部 分，用 表示; 第二部分是依赖于 的部分;用 来表示. 第三部分是独立于前两部分的白噪声 . * 三、 一般自回归模型 当AR(2)模型的基本假设被违背以后， 我们可以类似从AR(1) 到AR(2)模型的推广方法,得到更为一般的自回归模型AR(n)模 型: 上式还可以表示为 可见，AR(n)系统的响应 具有 阶动态性。拟合AR(n)模 型的过程也就是使相关序列独立化的过程。 * * 第三节 移动平均模型 AR系统的特征是系统在 时刻的响应 仅与其以前时刻 的响应 有关，而与之前时刻进入系统的扰动无关。 如果一个系统在 时刻的响应 ，与其以前时刻 的响应 无关，而与其以前时刻 进入系统的 扰动 存在着一定的相关关系，那么，这一类系统则为 MA系统。 * 一、一阶移动平均模型：MA(1)