2024年中考数学复习-抛物线的翻折问题复习讲义.docx

抛物线的翻折问题复习讲义

解题要点剖析

将抛物线的部分图象沿x轴、y轴或平行于x轴、y轴的直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，研究新图象与一次函数图象的公共点，是近年中考数学压轴题的热点之一.解答这类问题的策略是：

(1)画图.

(2)根据待定系数，明确图象的变化趋势.例如，直线y=2x+b，其中待定系数是b，则直线y=2x+b与直线y=2x是平行或重合的；直线y=kx-1，其中待定系数是k，则直线y=kx-1是绕着固定点(0,-1)旋转的.

(3)找临界点.

考题解析

例1已知抛物线y=m-1x2+

(1)求m的取值范围;

(2)若m1,且点A在点B的左侧,OA:OB=1:3,试确定抛物线的表达式;

(3)设(2)中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象.请你结合新图象回答：当直线y=13x+b与新图象只有一个公共点P(x?,y?)且

思路分析(1)抛物线与x轴有两个交点，说明二次项系数不为零，并且判别式大于零，由此可以求出m的取值范围.

(2)求出二次函数y=m-1x2+m-2x-1

(3)画出沿与x轴平行的直线l翻折后的新函数的图象，根据一次函数y=13

规范解答(1)因为抛物线y=m-1x2+m-

∴m-1≠0,

所以m的取值范围是m≠0且m≠1.

(2)因为点A,B是抛物线y=m-1x2+m-2x-1

∵

∵点A在点B左侧,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(1

∴

∵

解得m=

所以抛物线的表达式为y

(3)∵点C是抛物线y=13

∴点C的坐标为(0,-1).

依题意翻折后的图象如图19-1所示.

令y=7,即1

解得x

故新图象经过点D(6,7).

当直线y=13x+b

当直线y=13x+b

当直线y=13x+b(b-1)与函数y=13x2-2

整理得x

由Δ=-3

结合图象可知，符合题意的b的取值范围为-1b≤5或b

解后反思画出翻折后的函数图象，借助函数图象找临界点是解答这类题目的关键.

例2已知关于x的一元二次方程2x2+4x+

(1)求k的值;

(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-

(3)在(2)的条件下，将平移的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y=12x+b

思路分析(1)通过观察可知所给方程不可因式分解，那么只需利用判别式大于零，求出k的范围，再结合k为正整数这个条件就能求出k的值.

(2)将(1)求得的k值代入方程，再通过两根都是非零整数根这个条件进行筛选，就能求出k的值，从而确定二次函数y=2x2+4x+k

(3)应先根据条件作出题目提出的“新的图象”，然后根据题意，y=12x+b是指k=1

规范解答(1)由题意得△=16-8(k-1)≥0,解得k≤3.

又∵k为正整数,∴k=1,2,3.

(2)当k=1时,方程2x

当k=2时,方程2x2+4x+

当k=3时,方程2x2+4x+k-1=0

综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去；k=3符合题意.

当k=3时，二次函数解析式为y=2x2+4x+2,把它的图象向下平移8

(3)设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A，B两点,则A,B的坐标为A(-3,0),B(1,0).依题意翻折后的

当直线y=12x+

当直线y=12x+

结合图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为-

解后反思本题第(3)问是这类试题的核心问题，如果第(3)问去掉b3这个条件，问题将变得更复杂.如图19﹣3所示，图中直线l与该组合图形的中间部分相切，当y=12x+b在直线l上方时，也满足题意，那就需要求出直线l的表达式.直线l的表达式可以利用“相切”这个条件求得.显然，图中组合图形中间部分与y=2x2+4x—6关于x轴对称，不难得到其函数解析式为：y=-2x2-4x+6.它与y=12x+b相切，则方程组

例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+n与x轴交于A,B

(1)求点B的坐标.

(2)直线y=1

①求直线和抛物线的表达式；

②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D(0，d).将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象g.请结合图象回答：当图象g与直线y=12x

思路分析(1)注意到抛物线y=mx2-2mx+n

(2)只要利用(1)的结论，将点B的坐标代入y=12x+4m