离散数学与--2.2-3 命题逻辑等值演算 .ppt

2.2 命题逻辑等值演算 2.2.1 等值式与等值演算 等值式与基本等值式 真值表法与等值演算法 2.2.2 联结词完备集 真值函数 联结词完备集 与非联结词和或非联结词 等值式 真值表法 例1 判断 ?(p?q) 与 ?p??q 是否等值 解 真值表法(续) 例2 判断下述3个公式之间的等值关系: p?(q?r), (p?q)?r, (p?q)?r 解 基本等值式 双重否定律 ??A?A 幂等律 A?A?A, A?A?A 交换律 A?B?B?A, A?B?B?A 结合律 (A?B)?C?A?(B?C) (A?B)?C?A?(B?C) 分配律 A?(B?C)?(A?B)?(A?C) A?(B?C)? (A?B)?(A?C) 德摩根律 ?(A?B)??A??B ?(A?B)??A??B 吸收律 A?(A?B)?A, A?(A?B)?A 基本等值式(续) 零律 A?1?1, A?0?0 同一律 A?0?A, A?1?A 排中律 A??A?1 矛盾律 A??A?0 蕴涵等值式 A?B??A?B 等价等值式 A?B?(A?B)?(B?A) 假言易位 A?B??B??A 等价否定等值式 A?B??A??B 归谬论 (A?B)?(A??B) ??A 等值演算 等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则: 若A?B, 则?(B)??(A) 例3 证明 p?(q?r) ? (p?q)?r 证 p?(q?r) ? ?p?(?q?r) （蕴涵等值式） ? (?p??q)?r （结合律） ? ?(p?q)?r （德摩根律） ? (p?q) ?r （蕴涵等值式） 实例 实例 例5 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q??(p?q) 解 q??(p?q) ? q??(?p?q) （蕴涵等值式） ? q?(p??q) （德摩根律） ? p?(q??q) （交换律，结合律） ? p?0 （矛盾律） ? 0 （零律） 该式为矛盾式. 实例(续) (2) (p?q)?(?q??p) 解 (p?q)?(?q??p) ? (?p?q)?(q??p) （蕴涵等值式） ? (?p?q)?(?p?q) （交换律） ? 1 该式为重言式. 实例(续) (3) ((p?q)?(p??q))?r) 解 ((p?q)?(p??q))?r) ? (p?(q??q))?r （分配律） ? p?1?r （排中律） ? p?r （同一律） 非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的 成假赋值. 真值函数 定义2.12 称F:{0,1}n?{0,1}为n元真值函数 联结词完备集 定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n?1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集 定理2.1 下述联结词集合都是完备集: (1) S1={?, ?, ?, ? , ?} (2) S2={?, ?, ?, ?} (3) S3={?, ? , ?} (4) S4={?, ?} (5) S5={?, ?} (6) S6={?, ?} 复合联结词 与非式: p?q??(p?q), ?称作与非联结词 或非式: p?q??(p?q), ?称作或非联结词 p?q为真当且仅当p,q不同时为真 p?q为真当且仅当p,q不同时为假 定理2.2 {?},{?}是联结词完备集 证 ? p ? ?(p?p) ? p?p p?q ? ? ?(p?q) ? ?(p?q) ? (p?q)?(p?q) 得证{?}是联结词完备集. 对于{?}可类似证