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第四章 矩阵的特征值和特征向量 例1 求下列矩阵的特征值与特征向量，并判断它能否相似对角化。若能，求可逆阵，使（对角阵）。 例2 已知三阶方阵的三个特征值为，则的特征值为，的特征值为， 的特征值为，的特征值为 例3 设矩阵 有三个线性无关的特征向量，则应满足条件 例5 已知矩阵与相似，则 例6 设阶方阵满足，求的特征值 例7 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数 例8 设A为非零方阵，且 (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似 例9 设阶方阵A满足，求证：A相似于一个对角矩阵 结 论 总结 1 阶方阵A有个特征值，它们的和等于A的主对角线元素之和(即A的逆)，它们的乘积等于A的行列式 2 如果是方阵A的特征值，是与之对应的特征向量，如互不相等时，线性无关 3 如果阶方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值 4 如果阶方阵与对角阵相似，则的主对角线元素就是的个特征值 5 阶方阵与对角阵相似，即可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量 6 如果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似，即可相似对角化 7 实对称矩阵的特征值全为实数 8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交 9 对实对称矩阵，必存在正交矩阵，使，其中是以的个特征值为主对角线元素的对角阵 10 方阵可逆的充要条件是的特征值全不为零 习 题 一、单项选择题 设,则的特征值是( )。 (a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2 设,则的特征值是( )。 (a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 设为阶方阵, ,则( )。 (a) (b) 的特征根都是1 (c) (d) 一定是对称阵 若分别是方阵的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是的特征向量的充分条件是( )。 (a) (b) (c) (d) 设为阶可逆矩阵, 是的特征值,则的特征根之一是( )。 (a) (b) (c) (d) 设2是非奇异阵的一个特征值,则至少有一个特征值等于( )。 (a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4 设阶方阵的每一行元素之和均为,则有一特征值为( )。 (a)a (b)2a (c)2a+1 (d) +1 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）。 (a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量 下列说法不妥的是 （ ） (a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零 (b)属于一个特征值的向量也许只有一个 (c)一个特征向量只能属于一个特征值 (d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵 10 设矩阵 的特征值为，则( ) A） B) C) D) 11 已知矩阵有一特征向量，则 A) B) C) D) 12 已知矩阵的各列元素之和为3，则( ) A) 有一个特征值为3，并对应一个特征向量 B) 有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量 C) 3不一定是的特征值 D) 是否有特征值不能确定 13 设A是三阶矩阵,有特征值,则下列矩阵中可逆的是( ) A) B) C) D) 二 填空题 1 设为3阶矩阵，其特征值为，则=________ 的特征值为________，的特征值为________ 2 如果二阶矩阵 相似，则 3 若阶可逆阵的每行元素之和是，则数________一定是的特征值 4 设三阶矩阵有3个属于特征值的线性无关的特征向量，则 5 若，则的特征值为________ 6 设阶方阵的个特征值为，则 7 设 ，则 8 则 三 解答题 设三阶矩阵A的特征值为 ，对应的特征向量依次为： ，，，又向量 1) 将 用线性表示 2) 求 (为自然数) 2 已知 有3个线性无关的特征向量，求 3. 设 求A的特征值与