专题、二次函数、二次方程及二次不等式的关系.doc

专题、二次函数、二次方程及二次不等式的关系 【高考要求】 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，内涵丰富，联系密切，二次曲线等问题的研究均以此为工具 高考中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 【知识归纳】 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n (2) f(x)在闭区间［p,q］上必存在最大值M，最小值m, 2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布的五种情形（联系图象）： (1)一根比r大，另一根比r小a·f(r)0; (2)两根都大于r两根都小于r同理； (3)在区间(p,q)内有两根 (4)在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验); (5)一根大于p, 另一根小于q，pq 3 二次不等式转化策略 (1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是 (－∞,α)∪［β,+∞a0且f(α)=f(β)=0; (2)当a0时，f(α)f(β) |α+||β+|,当a0时同理 (3)当a0时，二次不等式f(x)0在［p,q］恒成立 或当a0时同理 (4)f(x)0恒成立 f(x)0恒成立同理； 【典型题例】 【例1】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足abc, a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 【例2】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0），若函数y=f（x）的图象与直线y=x和y=－x均无公共点. （1）求证：4ac－b2＞1； （2）求证：对一切实数x，恒有|ax2+bx+c|＞. 【例3】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1、x2. （1）如果x1＜2＜x2＜4，设f（x）的对称轴是x=x0，求证：x0＞－1； （2）如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范围. 【例4】已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角 求证 m≥5; (2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m 专题． 二次函数、二次方程及二次不等式的关系 姓名________ 1 若不等式 (a－2)x2+2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( ) A(－∞,2 B－2,2 C(－2,2 D(－∞,－2) 2 设二次函数f (x) = x2－x + a (a0), 若 f (m) 0, 则f (m－1) 的值为( ) A正数 B负数 　　C非负数 D正数、负数和零都有可能 3 ，，则_______________ 4已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_________ 5 己知抛物线与关于点对称，则的值为_______________ 6 的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是___________与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为 ． 8．函数上单调递增，则实数a的取值范围是________． 9 已知x、y(Q，则(x, y)=_______________． 10 方程的两根满足，则p(_________（p(）11．ab,c(R，abc(0，b(c，a(b(c)x2(b(c(a)x(c(a(b)(0有两个相等根，求证：成等差数列已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结论． 已知函数f (x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0) （1）若a=1,b=–2时，求f (x) 的不动点； （2）若对任意实数b，函数f (x) 恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y = f (x)图像上A、B两点的横坐标是函数f (x)的不动点，且A、B关于直线 y = kx +对称，求b的最小值 14.已知实数t满足关系式 (a0且a≠1) (1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值 15. 设对任意实数，， 记，求的最小值 16. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0,试分别求m的范围 (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1