第十二讲等比数列及其前n项和.doc

第十二讲　等比数列及其前n项和 基础梳理 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1. 3．等比中项 若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，\f(1an))，{a2n}，{an·bn}，\f(anbn))仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝a1?1－qn?1－q＝a1－anq1－q. 一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， 同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1?1－qn?1－q(q≠1)． 两个防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 三种方法 等比数列的判断方法有： (1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列． 双基自测 1．在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是 ． A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性 2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于 ． 3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于 ． 4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝ ． 5．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________. 考向一　等比数列基本量的计算 【例1】?设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 【训练1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值． 考向二　等比数列的判定或证明 【例2】?已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*. (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． 考向三　等比数列的性质及应用 【例3】?已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和． 本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，若把数列{an}平均分成若干组，其积也为等比数列． 【训练3】在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________. 考向四 等差与等比数列的综合性问题 【例4】?成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋\f(54))是等比数列． 关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两