4-微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型.pptx

4 微分方程建模 —— Malthus模型 与 Logistic模型;4.1 人口增长模型;模型一 (最简单的人口增长模型)：;模型二 (指数增长模型，即 Malthus 模型)：;模型假设： 人口增长率 r 是常数. 人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为建立微分方程模型，可以将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的.;模型构成：;模型检验：;模型预测：;模型三 (阻滞增长模型，即 Logistic 模型)：;假定;dx/dt;模型检验和预测：; Malthus 模型与 Logistic 模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与Malthus 模型与 Logistic 模型所反映的数学规律类似即可.;4.2 赝品的鉴定;最初，米格伦的确惊慌了一阵子. 可是，米格伦在同年7月12日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画《在埃牟斯的门徒》都是他自己为“戏弄纳粹”的仿制品. 一位法官试图证明米格伦确有通过制赝牟利的动机，他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！” ;这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，米格伦在监狱里开始伪造维米尔的油画《在埃牟斯的门徒》. 旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民族英雄，罪名转化为盛名， 1947年10月12日米格伦被宣告犯有伪造罪，判刑一年. 可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日去世了. ;六十年后，美国记者、专栏作家乔纳森·洛佩兹(Jonathan Lopez)出版了《制造维米尔的人》(The man who made Vermeers) 一书. 在书中，洛佩兹表达了对那个时代荷兰人民的体谅：“荷兰人对米格伦的态度并非不可理解. 在二战中，这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在盟国的帮助下完成. 米格伦给了未能主宰自身命运的荷兰人内心深处想要得到的东西. 而对于‘欺骗’这种事情，他又是太熟谙了.” ;然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的《在埃牟斯的门徒》是米格伦伪造的. 事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下. 专家小组对于怀疑者的回答是：由于米格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制《在埃牟斯的门徒》，来证明他高于三流画家. 当创造出这样的杰作后，他的志气消退了. 而且，当他看到这幅《在埃牟斯的门徒》那么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了. 这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学确定地证明《在埃牟斯的门徒》的确是一个伪造品. 这一问题拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦大学的科学家们基本解决. ;原理与模型 ;λ 和 N(t) 能测出或算出，只要再知道 N0 就可断代. 这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法.;与本问题相关的其他知识: ;(3) ;设 t 时刻1克白铅中铅210的含量为 N(t)； 设镭单位时间铅210的分解数为 r (常数)； 设 λ 为铅210的衰变率，则N(t)满足微分方程： ;若此画是真品，t - t0 ≈ 300 (年) . 从而可求出 λN0 的近似值. 对油画《在埃牟斯的门徒》具体计算如下：;地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素. 从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中. 从铅矿中提炼铅??，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡. 各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于3%的. ;由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同. 设 λu是铀的衰变率， λ 是铅210的衰变率， U0是 0 时刻白铅中铀的含量， N0 是 0 时刻白铅中铅210的含量. 于是， 由此推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于30000个，否则铀的含量将超过4%，而这是不可能的. ;若;4.3 耐用新产品的销售速度问题;模型构成：;;;4.4 传染病模型;模型一 ;;在传染病传播期间，一个病人单位时间内传染的人数 ? 应该是变化的. 有必要将人群划分成病人与健康者，来建立两房室系统. 在初期， ? 较大；随着病人的增多，健康者减少，被传染的机会也将减少，于是 ? 就会变小. ;模型二 (SI模型) ;模型构成：