江苏省东海高级中学2013年高三上学期期中考试数学理试题.doc

东海高级中学2013届高三理科数学第一学期期中试题 一、填空题本大题共小题，每小题5分，共0分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线．若集合，函数的定义域为，则 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则的解析式为 . 3. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为 . 4. 给出下列命题，其中正确的命题是 ▲ (填序号)． ①若平面上的直线m与平面上的直线n为异面直线，直线l是与的交线，那么l至多与m，n中的一条相交； ②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面； ③一定存在平面同时与异面直线m，n都平行． 5. 函数的定义域为，，对任意，＞2，则＞的解集为_▲ ． 6. 在锐角中，若，则的取值范围是 . 7. 已知向量，的夹角为45°，且，，则=____▲______． 8. 如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①∥平面；②与平面相交；③AD⊥平 面；④平面⊥平面． 其中正确结论的序号是 ▲ ． 9. 设定义在区间上的函数是奇函数，则 的取值范围是是锐角的外接圆的圆心，且，若，则= ▲ ．（用表示） 11. 正三棱锥中，，，分别是棱上的点，为边的中点，，则三角形的面积为______▲_______． 12. 若函数在区间上有最大值，则的值是 . 13. 设是自然数集的一个非空子集，对于,如果，且,那么是 的一个“酷元”，给定，设，且集合中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合有的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．则可推知函数的零点的个数是 ▲ . 二、已知集合，集合， 集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围.在中，内角对边的边长分别是，，. （），求的面积（）的面积等于 17.(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB； （3）求三棱锥P－DEF的体积． 18. (本题满分15分)如图，在边长为1的正三角形中，分别是边上的点，若，．设的中点为，的中点为． ⑴若三点共线，求证； ⑵若，求的最小值. 19. （本题满分16分）已知A、B、C为ABC的三个内角，设. （1）当取得最小值时，求的大小； （2）当时，记，的表达式及定义域； （3）在（2）的条件下，是否存在向量，使得函数的图象按向量平移后得到函数的图象？若存在，求出向量的坐标；若不存在，请说明理由. 已知函数（1）若时,恒成立，求实数的取值范围； （2）若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围.、填空题 ； 2. ； 3. ； 4. ③； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ①④； 9. ； 10. ； 11. ； 12. 或 5个. 二、 解：(1)， ，………………………………………………4分 .………………………………………………6分 (2) ∴.………………………………………………8分 ,,∴.……………………………………9分 ,则或.……………………………12分 .………………………………………………13分 综上，或…………………………14分（）由题意得，即， 时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，． 所以的面积．）的面积等于，，得． 联立方程组解得，，又， 故此时为正三角形，故，即当三角形面积为时， 是边长为的正三角形。 …………11分 反之若是边长为的正三角形，则其面积为。 故的面积等于是边长为的正三角形. ……14分 17. (1）证明：取PD的中点为M，连结ME，MF，因为E是PC的中点，所以ME是△PCD的中位线．所以ME∥CD，ME＝．又因为F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，AB∥CD，AB＝CD，所以ME∥FB，且ME＝FB．所以四边形MEBF是平行四边形，所以BE∥MF． 连结BD，因为BE平面PDF，MF平面PDF，所以BE∥平面PDF．…………5分 （2）证明：因为PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，所以DF⊥PA． 连结BD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以△DAB为正三角形． 因为F是AB的中点，所以DF⊥AB． 因为PA，AB是平面PAB内的两条相交直线，所以DF⊥平面PAB． 因为DF平面PDF，所以平面PDF⊥平面PAB．…………………………10