数值分析与总复习2010 .ppt

* 完毕 * ? 梯形值序列 ? 递推算法 所有新增加节点的函数值之和. 其中 * ? Romberg算法 * ? Gauss型求积公式 Ak: 求积系数, {xk}: 求积节点 如果该求积公式具有(2n-1)阶代数精确度, 则称其为Gauss型求积公式. 设有求积公式 * ? 区间[-1, 1]上的Guass型求积公式 其中求积节点{xk}为n阶Legendre多项式的零点; Ak, xk 的值可查表得到. ? 一般[a, b]上的Gauss型求积公式可用换元法转化成[-1, 1]上的Gauss型求积公式. * 第八章 非线性方程解法 ? 二分法(对分区间法) 求 f (x) = 0 的根 ? 简单迭代法 (收敛的充分条件) ? 牛顿法 ? 割线法 * ? 设[a, b]是 f (x)=0的有根区间, 用二分法迭代 ? 给定精度?, 迭代次数k 满足下式, 能保证满足精度 ? 二分法(对分区间法) * ? 简单迭代法 构造递推公式 适当选取. 以 逐次逼近 f (x)=0的根. 如何构造收敛的迭代法? * 定理 考虑方程 x = g(x), g(x)?C[a, b], 若 ( I ) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b]； ( II ) ? 0 ? L 1 使得 | g’(x) | ? L 对 ? x?[a, b] 成立。 则任取 x0?[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 收敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式： ? ( k = 1, 2, … ) ? k * ? 牛顿法 原理：将非线性方程线性化 ( Taylor 展开 ) x y x* xn xn+1 * 第九章 常微分方程数值解法 ? 构造常微分方程离散格式的三种方法 ? 单步法常见格式 ? 多步法常见格式 ? 重要概念: 局部截断误差 * ? 用差商近似导数 ? 数值积分方法 ? Taylor多项式近似方法 ? 构造常微分方程离散格式的三种方法 * ? Euler法 ? 改进Euler法 ? 经典四阶RK方法 ? 单步法常见格式 * ? 多步法常见格式 ? Simpson公式 ? Adams显隐公式 ? Adams预测--校正公式 * ? 局部截断误差 ? 整体截断误差 Taylor展开方法 ? 几个重要概念 ? 数值方法的阶数 * 数值分析总复习例题 * 分析 对称 其中 li为矩阵 L的第 i个行向量. 一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中 * 解: 一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中 * 一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中 解: * 解: 先解 Ly=b, 再解 LTx=y, 一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中 * 二. 设有方程组 写出Jacobi迭代, Gauss-Seidel迭代的计算公式, 两种迭代法是否收敛? 为什么? Jacobi迭代法不收敛, Gauss-Seidel迭代法, ?=1.2的SOR迭代法收敛. * 三. 按下表求 f (x)的四次Hermite插值多项式H(x), 并写出截断误差R (x)=f (x)?H(x)的表达式. 0 1 2 1 2 1 0 ?1 * 四. (1) 求形如 的求积公式, 使其至少具有两次代数精确度, 该公式是否具有三次代数精确度? 解 (1) 由已知, 当 f (x)分别为1, x, x2时, 求积公式等号成立. 即 故该公式具有3次代数精确度. * 四. (2) 选用合适的数值积分方法计算 的近似值, 要求计算结果具有3位有效数字. 解 设 f (x)=cos(x2), xk=k/8 (k=0, 1, …, 8), fk=f (xk), 则 f0=1 f1=0.999877932 f2=0.998047511 f3=0.990128588 f4=0.968912422 f5=0.924671261 f6=0.845924499 f7=0.720949381 f8=0.540302306 梯形值序列 T1=0.770151152 T2=0.869531786 T4=0.895758895 T8=0.902332842 Simpson值序列 S2=0.902658664 S4=0.904501264 S8=0.904524157 梯形值序列的逐次分半算法 故 * 五. 设 (1) 用迭代公式 求方程 f (x)=0在x0=2.0附近的一个根, 试问此迭代法是否收敛? (2) 用合适的方法求 f (x)=