第4.6节多元正态分布.ppt.ppt

第4.6节 多元正态分布 一、密度函数与特征函数 二、独立性 三、线性变换 四、条件分布 作 业 一、密度函数与特征函数 二、独立性 三、线性变换 四、条件分布 1. 多元正态分布密度函数的向量形式 则n元正态分布的密度函数的向量形式为： 简记为 2. 多元正态分布密度函数的性质 第一个性质是显然的，以下给出第二个性质的证明。 由于矩阵B是正定对称阵，因而存在非奇异矩阵L使得 类似于一元函数定积分中的换元法，设线性变换 则线性变换的逆变换为 因此 由此可以得到性质2的结论. 3. 多元正态分布函数的特征函数 证明 由于 作线性变换 则 因而 4. 多元正态分布的推广形式 在上述讨论中，假定了矩阵B是正定。对于矩阵B 是非负定时，令 则此矩阵为正定矩阵，相应的特征函数为 令k??, 退化正态分布（奇异正态分布） 当协方差矩阵B的行列式detB=0时，正态分布N(a B)为退化正态分布 证明： 证明： 在定理4.6.2中，令子向量为一维向量时，则 由柯西－施瓦兹不等式可得其他各协方差存在。又因为 主要讨论多维正态分布的独立性与不相关性的关系 证明： 必要性是显然的. 即 因此 证明： 必要性： 充分性： 因此，由p233性质6可知，充分性成立. 证明： 必要性：?服从N(a,B),则其特征函数为 令t=ul, 其中u是任意实数，则 充分性： 令u=1, 则 由于向量l的任意性，由特征函数的唯一性可知 说明： 定理4.6.6的意义在于对于多维正态分布的研究可以 转化为利用一维正态分布相关性质加以研究. 证明： 对于任意m维实值列向量t 定理4.6.7表明，服从正态分布随机向量在线性变换下仍然服从正态分布，这个性质简称为正态变量的线性变换不变性. 证明： 对于实对称矩阵B，一定存在正交矩阵U,使得 说明： 对于多维正态变量，可以进行正交变换，使其既保持正态性，又让个分量独立，此方法主要应用于数理统计中的相关证明.