概率论课件第十四次课.ppt

* 一、复习： 1、什么是协方差？ 计算协方差的公式怎样？ 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为： 求 解： 2、什么是两个随机变量的相关系数？ 则 3、相关系数有哪些性质？ 已知 求 解： 则 设X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42), 且X和Y的相关系数 设 求：1）E(Z)和D(Z)； 解：1） 则 开始 则 2）求X与Z的相关系数 第五章 大数定律与中心极限定理 第一节 契比雪夫不等式 1.契比雪夫不等式： 这就是著名的契比雪夫(Chebyshev)不等式. 它有以下等价的形式： 设随机变量X的期望 及方差 存在，则对任意的 ，有 例1、抛一枚硬币，试问抛900次后，出现正面 的次数介于400至500之间的概率至少为多少？ 设X表示出现正面的次数， 故有 则所求得概率为： 则 例2、已知某种股票每股价格X的平均值为1元， 标准差为0.3元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a 元的概率小于10%. 第五章 大数定律与中心极限定理 第二节 大数定律 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律 研究大量的随机现象，常常采用极限形式， 与 大数定律 中心极限定理 性的学科, 随机现象的规律性只有在相同的条件 下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说 ，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究 大量随机现象. 很广泛，其中最重要的有两种: 由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容 定理1 (契比雪夫大数定律): 设 X1, X2, …, Xn , …是相互独立的随机变量 则对任意的ε0，恒有 且分别有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),(k=1,2, ·‥n) 若方差有界，即存在常数C，使得: 契比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 作为契比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理. 定理2 (独立同分布下的大数定律): 设X1, X2, …, Xn, …是独立同分布的随机变量 D(Xi) = ， i=1, 2, …, 序列，且E(Xi)= ， 则对任给 0, 定理3 (贝努里大数定律): 或 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， p是A发生的概率，则对任给的ε 0， 证明：设 则 而 则 则 第五章 大数定律与中心极限定理 第三节 中心极限定理 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人 产生总影响. 随机因素的影响. 们发现，正态分布在自然界中极为常见. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布. 的规律性问题. 定理1 (独立同分布下的中心极限定理)： 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序列， 且E(Xi) = ， 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独 D(Xi) = ，i=1, 2, …， 则 即 立同分布的变量之和近似服从正态分布 由题给条件知X1 , X2 , …,X16独立, 16只元件的寿命的总和为 解: 且 E(Xi) = 100, 所求概率为 P(Y1920) 由中心极限定理, 近似N(0,1). 设第i只元件的寿命为Xi , i=1, 2, …, 16 例1. 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均 值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它 们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总 和大于1920小时的概率. D(Xi) = 10000, P(Y1920) =1－?(0.8) =1－0.7881 = 1－P(Y?1920) =0.2119. 定理2 (德莫佛－拉普拉斯定理)： 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分 定理表明， ，np(1－p)也不太小时），二项变量 的分布近似 布，则对任意x，有 正态分布 N(np, np(1－p)). 当n很大， 0p1是一个定值时 （或者说 例2、假设生产线上组装每件成品的时间服从指数 分布，统计资料表明该生产线每件成品的组装时间 为10分钟，各件产品的组装时间相互独立，试求组 装