2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析.doc

2013年湖南省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?湖南）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 　 2．（5分）（2013?湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　） 　 A． 抽签法 B． 随机数法 C． 系统抽样法 D． 分层抽样法 分析： 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 解答： 解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1． 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法． 故选D 　 3．（5分）（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　） 　 A． B． C． D． 　 4．（5分）（2013?湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（　　） 　 A． B． 0 C． D． 　 5．（5分）（2013?湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（　　） 　 A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 　 6．（5分）（2013?湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　） 　 A． B． C． D． 点评： 本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． 　 7．（5分）（2013?湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　） 　 A． 1 B． C． D． 　 8．（5分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　） 　 A． 2 B． 1 C． D． 考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程．342472 专题： 直线与圆． 分析： 建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值． 解答： 解：建立如图所示的坐标系： 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4， △ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4， 则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足， 解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0）， 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线， 直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a）， 由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0， 解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP= 故选D 点评： 本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 　 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题） 9．（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为　3　． 考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．342472 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值． 解答： 解：由直线l：，得y=x﹣a， 再由椭圆C：，得， ①2+②2得，． 所以椭圆C：的右顶点为（3，0）． 因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3． 故答案为3． 点评： 本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． 　 10．（5分）（2013?湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为　12　． 考点： 柯西不等式；柯西不等式的几何意义．342472 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c