D曲率.ppt

第七节 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 * * 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样度量曲线的弯曲程度？ 曲线的基点与正向: 设函数f(x)在区间(a? b)内具有连续导数? 在曲线y?f(x)上取固定点M0(x0? y0)作为度量弧长的基点? 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向? s0 s0 有向弧段 的值: M M0 ( 对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称弧)如下? M M0 ( 一致时s0? 相反时s0? 显然? 弧 s 是 x 的单调增加函数? s?s(x)? s 的绝对值等于该弧段 的长度; 当有向弧段 的方向与曲线正向 弧微分公式: 设x? x?Dx为(a? b)内两个邻近的点? 它们在曲线y?f(x)上的对应点为M? N? 并设对应于x的增量Dx? 弧 s 的增量为Ds. 因为当Dx?0时? Ds ~ MN? 又Dx与Ds同号? 所以 由此得弧微分公式: 提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度. 观察与思考：观察曲线的弯曲线程度与哪些因素 有关. 怎样衡量曲线的弯曲程度？ 平均曲率： 曲率： 曲率:设曲线C是光滑的? 曲线上点M对应于弧s? 在点M处切线的倾角为a? 曲线上另外一点N对应于弧s?Ds? 在点N处切线的倾角为a?Da ? 曲率的计算公式: 设曲线C的方程为y?f(x)? 且f(x)具有二阶导数? 因为 两边微分得: 例1. 计算等边双曲线 xy?1 在点(1, 1)处的曲率. 曲线在点(1? 1)处的曲率为 因此 y?|x?1? ?1? y??|x?1?2? 解: 曲率的计算公式： 2 3 2 ) 1 ( | | y y ds d K ￠ + ￠ ￠ = = a 例2. 抛物线y?ax2?bx?c上哪一点处的曲率最大？ 解: 由 y?ax2?bx?c? 得 y??2ax?b? y???2a? 代入曲率公式? 得 显然? 当 2ax?b?0 时曲率最大? 因此? 抛物线在顶点处的曲率最大? 此处K?|2a|? 曲率的计算公式： 2 3 2 ) 1 ( | | y y ds d K ￠ + ￠ ￠ = = a 讨论： 3? 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 1? 直线 y=ax+b 上任一点的曲率是什么？ 2. 若曲线的参数方程为x=j(t), y=y(t)? 那么曲率如何计算？ 提示： 1. 设直线方程为 y=ax+b, 则y?=a, y??= 0. 于是K=0. 3. 圆的参数方程为x=R cos t, y=R sin t . 2. 上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆? 其圆心叫做曲率中心? 其半径 叫做曲率半径? 曲率与曲率半径关系: 曲率圆与曲率半径: 设曲线在点M处的曲率为K(K?0). 曲率圆 曲率半径 曲率中心 在曲线的凹侧作一个与曲线相切于M且半径为 =K-1的圆.