会求曲率和曲率半径.doc

★★★★★ 会求曲率和曲率半径； 弧微分、曲率的概念及计算、曲率半径 曲率 在生产时间和工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度.例如，设计铁路、公路时，如果弯曲程度不合适，很容易造成事故；又如，在机械和土建工程中，各种梁在荷载作用下，要弯曲变形.为此，本书我们介绍曲率的概念及曲率的计算公式. 一、弧微分 作为曲率的预备知识，我们先介绍弧微分的概念. 考察定义在区间上的函数，函数在区间内具有连续导数，其图形为图3-6-1所示的一条光滑曲线，在曲线上取一固定点作为度量弧长的基点，显然，从曲线上点到曲线上任一点之间的长度s（即）是的函数，记为.首先，我们给出如下规定： 1.曲线的正向即为x的增大的方向； 2.当与曲线正向一致时，s0；当与曲线正向相反时，s0. 显然，是x的单调增加函数.下面来求的导数与微分. 设，为内两??邻近的点，它们分别对应曲线,，并设对应于的增量，弧的增量为，那么. 求，先考察 因为存在且连续，所以 （1） 当时，则，由式（1）可知上式极限为： 即： （2） 得： 由于弧长函数是单调增加函数，故，于是： （3） 从而 （4） 或 （5） 式（4）和式（5）称为弧微分公式. 二、曲率及其计算公式 考察图3-6-2中的曲线，从直观上看该曲线的不同部分的弯曲程度不同.下面我们就来研究怎样描述曲线在各点处的弯曲程度. 先考察圆周，比较两个半径不等的圆周，如图3-6-3，圆的半径小于圆的半径：.显然，半径小的圆的圆周弯曲得更为厉害.现在我们在这两个圆周上各取两段弧和，它们的弧长等于单位长度.过点和分别作这两个圆的切线，对于圆，点和处的切线夹角记为，它可视为是一个动点从点沿圆弧移到点处相应的切线所转动的角度.对于圆，点和处的切线夹角记为，则有. 可以看出，对于圆弧来说，单位弧长所对应的切线转动角度可用来描述圆弧的弯曲程度.它为我们提供了一种衡量曲线弯曲程度的方法. 由此，我们引入描述曲线弯曲程度的概念——曲率. 设平面曲线是光滑的，在上选定一点作为度量弧的基点，设曲线上点对应于弧，在点处切线的倾角为（见图3-6-4），曲线上另一点对应于弧，点处切线的倾角为，则弧段的长度为，当动点从点移动到点时切线的转角为. 我们用单位弧段上切线转动角度的大小，即比值，表达弧段的平均弯曲程度，并称它为弧段的平均曲率，记为，即=.其中加上绝对值符号，表示不考虑曲线弯曲的方向. 当时，即时，上述平均曲率的极限称为曲线在点的曲率，记作，即 . 在存在的条件下，也记为： （6） 以直线为例，直线在任一点处的切线即为本身，当点沿直线移动时，切线的转角， （见图3-6-5），从而， .这就是说直线上任一点处的曲率都等于零，这与我们的直觉“直线不弯曲”一致. 又如，半径为的圆，由图3-6-6，可见圆在点处的切线所夹的角等于中心角，由，可知，从而.因为点是圆上任意一点，这体现了圆弧是均匀弯曲的曲线，它体现了圆弧上各点处的曲率都等于半径的倒数，这就是说，半径越小，圆弧弯曲得愈厉害. 为了进一步得到处曲率计算公式，考察下式： （7） 设曲线方程为，具有二阶导数，由于，，因而有： 又由式（3）知：，从而根据曲率的表达式（7），有： . （8） 若曲线方程由参数方程表示，则利用由参数方程所表示的函数的求导方法，得出： ， 代入式（8），得： （9） 例1 求曲线在点处的曲率. 解 因为，，所以 ， 故所求曲率为 . 例2 抛物线上哪一点的曲率最大？ 解 ，，故所求曲率为. 若要使得最大，只须分母最小，即.而所对应的点为抛物线的顶点，因此，抛物线在顶点处曲率最大. 在某些实际问题中，如果远远小于1（记为），则可以忽略不计，此时，从而得到计算曲率的近似公式. 三、曲率圆、曲率半径和曲率中心 图3-6-7 设曲线在点处的曲率为（），在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点，使，以为圆心，为半径所作的圆（见图3-6-7）称为曲线在点处的曲率圆.曲率圆的圆心称为曲线在点处的曲