量子化学卷一答案.pdf
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研究生课程“量子化学原理”试题一答案
2
1. 试写出能使eax 2 为算符[ d 2 − Bx2] 的本征函数的a 值是什么?求出此本征函数的本征值。
dx
2
解:由题意知,若eax 2 为算符[ d 2 − Bx2] 的本征函数
dx
2
则 [ d 2 − Bx2] eax 2 = meax 2 (1)
dx
其中m 为一个实数
2
可知 [ d 2 − Bx2] eax 2 = 2aeax 2 + (4a2 −B) x 2 eax 2 (2)
dx
与(1)对比,可知 (4a2 −B) = 0
√B
故 a =
2
2
所以 [ d 2 − Bx2] eax 2 = meax 2 = 2aeax 2
dx
从而 m = 2a =√B
2. 写出Li 原子的哈密顿算符,并说明每一项的物理意义。
� h 2 2 2 2 2 3e2 3e2 3e2 e2 e2 e2 �
解:H = − �∇ + ∇ + ∇ + ∇ �−� + + + + + + H
Li 2m n e 1 e2 e3 r 1 r2 r 3 � �r 12 r 13 r23 � S,O
h 2 2 h 2 2 2 2
式中,− ∇ 是Li 原子核的动能算符,− �∇ + ∇ + ∇ �是Li 原子中三个电子
2m n 2m e 1 e2 e3
3e2 3e2 3e2 e2 e2 e2
的动能算符,�r 1 + r2 + r 3 �是三个电子与原子核之间的吸引势能,�r 12 + r 13 + r23 �
�
是三个电子两两之间的排斥势能,HS,O 是自旋−轨道相互作用。
� � �� ��
3. 若A和B满足对易关系:AB −BA = 1,求证:
� 2 2 �
� �
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