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第一章 函数、极限与连续 高等数学是一门研究变量的科学，它的内容和方法广泛应用于自然科学和社会科学的许多领域．函数是高等数学的研究对象，是高等数学中最基本的概念．极限是深入研究函数的基本方法，高等数学中的许多概念、性质和法则都是通过极限方法来建立的．函数的连续性与极限密切相关，连续函数是高等数学中着重研究的一类函数． 本章主要介绍函数、极限和函数的连续性等基本概念．我们将在复习函数知识的基础上讨论函数的极限，进而讨论函数的连续性及连续函数的性质． 1.1 函数 1. 高等数学主要是在实数范围内研究函数，我们先学习一些必须具备的实数知识． 1．实数 实数由有理数和无理数两大类组成．有理数包括整数和分数，可以用有限小数和无限循环小数表示．无限不循环的小数是无理数．全体实数构成的集合称为实数集，记作R． 实数通常用数轴上的点来表示，任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的任一点都表示惟一的一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的． 2．实数的绝对值 实数a的绝对值记作|a|，定义为|a|＝ EQ \B\LC\{(\A\AL\COL(a，　a≥0,－a，a＜0)) ． 例如实数3（3＞0）的绝对值|3|＝3，实数0的绝对值|0|＝0，实数－3（－3＜0）的绝对值|－3|＝－（－3）＝3． |a|表示在数轴上对应a的点到原点的距离，这就是绝对值的几何意义．由绝对值的定义及几何意义可知，绝对值有以下重要性质： (1) |x|≥0当且仅当x＝0时等号成立； (2) |－x|＝|x|； (3) |x|≤a(a＞0)等价于－a≤x≤a； (4) |x|≥a(a＞0)等价于x≤－a或x≥a． 例1 解绝对值不等式|x－1|≤2． 解 由绝对值的性质得－2≤x－1≤2，即 －1≤x≤3． 例2 解绝对值不等式|x＋1|＞3． 解 由绝对值的性质得x＋1＜－3或x＋1＞3，则 x＜－4或x＞2． 3．区间 区间可理解为实数集R的子集．区间分为有限区间和无限区间． (1)有限区间： 设a，b∈R且a＜b，有限区间在数轴上可以用一条以、为端点的线段表示（表1-1），区间闭的一端用实心点表示，开的一端用空心点表示． 表1-1 集合表示 区间表示 名称 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a＜x＜b} 开区间 {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 {x|a＜x≤b} 以上的区间都是有限区间，实数和叫做区间的端点，区间长度为b－a． (2)无限区间： 我们规定：符号“∞”表示无穷大，“＋∞”表示正无穷大，“－∞”表示负无穷大．这样不等式x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的解集也可用无限区间表示（表1-2）． 表1-2 集合表示 区间表示 数轴表示 需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处．实数集R可以写成区间． 1. 1．函数的定义 我们知道，半径为r的和圆的面积A为 ，只要r取定一个正数值，面积A就有一个确定的数值与之对应．半径r变化，面积A也随之发生变化，上述公式表明了变量r和A之间的对应关系．函数就是描述变量之间的对应关系的，其定义如下： 设x、y是两个变量，D一个给定的非空数集．如果对于D中的每一个数x，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的数值与之对应，则称y是定义在数集D上的x的函数，记作 ，x∈D， 其中，x称为自变量，y称为因变量；数集D称为函数的定义域． 定义域D是自变量x的取值范围，也就是使函数有意义的数集．当取数值∈D时，称函数在点处有定义，与对应的数值称为函数在点处的函数值，记作．当取遍D的一切数值时，对应的函数值的全体组成的数集M称为函数的值域，即 ． 说明：函数中表示对应法则的符号也可改用其他字母，例如等等． 由函数的定义可知，给定定义域D和对应法则f，值域M就相应地被确定了，因此，函数的定义域和对应法则称为函数的两要素．只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才能认为这两个函数是相同的函数．至于变量采用什么样的符号，那是无关紧要的，比如函数 ，和， 表示同一个函数． 例3 求下列函数的定义域． （1）； （2）． 解 （1）要使函数有意义，须使 ，即． 则函数的定义域为 ． （2）要使函数有意义，须使 ，即． 则函数的定义域为 ． 研究任何函数都要首先考虑其定义域，函数的定义域是使其有意义的一切实数组成的集合．求函数定义域时，一般需要考虑以下几个方面： （1）分式中，分母不能为零； （2）根式中，负数不能开偶次方根； （3）对数式中，真数大于零； （4）反三角函数式的或，要满足； （5）在实际问题中应根据问题的实际意义确定． 例4 判断下列每组的两个函数