第二型曲面积分的计算.pdf

第34卷 第8期 湖南科技学院学报 、，_01．34NO．8 2013年8月 JournalofHunanUniversityofScienceandEngineering Aug．2013 第二型曲面积分的计算 赵艳辉 (湖南科技学院 数学与计算科学系，湖南 永州 425199) 摘 要：文章从第二型曲面积分的定义、两类曲面积分的关系、积分曲面的对称性和高斯公式等方面探讨第二型曲面积 分的一题多解问题，有助于进一步理解第二型曲面积分和重积分之间的关系。 关键词：第二型曲面积分；对称性；高斯公式 中图分类号：0172 文献标识码：A 文章编号：1673-2219(2013)08-0005-04 第二型曲面积分的计算是数学分析课程的难点之一，本文通过一道习题对第二型曲面积分的计算进行了较为全面的讨 论，便于加强积分学知识之间的联系。 例1计算积分Ⅱ()．c+)dydz+(y—z)dzdx+(z+3)dxdy，∑为球面 ∑ +Y +Z ：R ，取外侧。 计算Ⅱ尸 +Q + 时通常分开计算三个积分 ~fPdydz，~Qdzax， dy 2二 2- 为此分别把曲面∑投影到 0z面、ZOX面、 0面上化为二重积分来进行计算，投影域的侧由曲面∑的方向决定。 解：对积分 (+ )ayaz，分别用∑前和∑后记前半球面和后半球面的外侧，则 2二 ∑前： = ， ： +z ∑后：X=-- ， ： +z 所以 = ff( +y)dydz+』『(一 +)(一dydz) D D 收稿 日期：2013—05一O8 基金项 目：湖南省教改课题 (，序号：428)。 作者简介：赵艳辉 (1969--)，女，湖南沅江人，副教授，主要从事函数论与数学教育研究。 5 = 2ff dz (令=rcosO,z=rsi D = 2 胁 = 积 。 对积分 (一z)dzdx，~sJ,mE右和∑左记右半球面和左半球面的外侧，则有 ∑右：Y：√2一2一z2， ：2+z2R2 ∑左： ： 一 √_= ，Dxz：2+z 对积分盯(z+3) ，~sJ,mZ上和∑下记上半球面和下半球面的外侧，则有 ∑ ∑上：z：√尺一一Y， ：+ R ∑下：z=一 可 ， ：2+ … … 得 z 妣 3 ： 。 ， 所以 』『(+) +(一z)dzdx+(z+3)dxdy=4zR ∑ 2 由两类曲面积分之间的关系将积分投影到某一个坐标平面上计算曲面积分 这样避免了从∑的方程中分别求出 ，Y，z及将有向曲面分别投影到yoz~i、ZOX面、 0面和投影时的侧的问题 引理 1Ⅲ 设积分曲面∑：z=z(x，)，(，)∈Dv，其中Dxy是∑在xoy面上的投影区域，被积函数 P(x，Y，z)，Q(x，y，z)，R(x，Y，z)在∑上连续，函数z=z(x，)在Dv上具有一阶连续偏导数，则 』』P(，z)dydz+Q(，z)dzdx+R(，z)dxdy ∑ = ±盯{尸[x，Y，z，)]