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导体平板间点电荷的电场研究
如图所示，两无限大导体平板电位均为零，板间有一点电荷q，试求板间电位、电场强度，并用matlab做出场分布示意图。
思路建议：
可从镜像法、分离变量法等方法中选择最佳求解方法。
注意该求解区域为三维空间。
采用直角坐标系分离变量法:因为两导体平板间电位分布具有轴对称性，可先只考虑x0z这个二维平面的电位分布，求出其电位分布，再根据轴对称性得出三维空间的电位分布。
两极板间除点电荷q所在位置之外的空间中电位满足拉普拉斯方程。设电位(具有分离变量解
由边界条件可知，具有的形式，因此只能取指数类的函数；又由于具有偶函数性质，且x((时，电位趋于零，因此可设
由此写出电位的通解为
即时，
时，
在分界面x = 0处，点电荷q用面密度表示为
代入分界面上的边界条件
得到
两边同乘，并对z从0到a积分：
最后得到电位解为
由轴对称性可知极板空间内的电位分布为：
所以，电场 E= －▽Φ
Matlab作图：
1.等位面
取q=?0π，a=2,d=1 电位方程可化简为
电位最大处应为电荷q所在点，由设定条件解得Φmax=1.5912
（1）Φ=0.1 时，程序如下：
x=-5:0.05:5;y=-5:0.05:5;z=0:0.01:2;
[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);
f=0;
for m=1:50
j=(exp(-m*pi.*sqrt(x.^2+y.^2)/2).*sin(m*pi.*z/2).*sin(m*pi/2))./m;
f=f+j;
end
p=patch(isosurface(x,y,z,f,0.1));
xlabel(x)
ylabel(y)
zlabel(z)
set(p, FaceColor, red, EdgeColor, none);
daspect([1 1 1])
view(3)
camlight; lighting phong
三维图：
俯视图：
侧视图：
（2）Φ=0.5时，程序如下：
x=-5:0.05:5;y=-5:0.05:5;z=0:0.01:2;
[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);
f=0;
for m=1:50
j=(exp(-m*pi.*sqrt(x.^2+y.^2)/2).*sin(m*pi.*z/2).*sin(m*pi/2))./m;
f=f+j;
end
p=patch(isosurface(x,y,z,f,0.5));
xlabel(x)
ylabel(y)
zlabel(z)
set(p, FaceColor, red, EdgeColor, none);
daspect([1 1 1])
view(3)
camlight; lighting phong
三维图：
俯视图：
侧视图：
（3）Φ=1时的三维图
O
a
d (
q
( = 0
( = 0
z
x
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