高等数学第三版上册 第三章第三节 习题3 3.docx

高等数学第三版上册 第三章第三节 习题3 3 高等数学第三版上册 第三章第三节 习题3period;3 第三节 函数的最值 求60—65题中函数的最大值和最小值。 60． x ∈[0,4] 解：y 值y=4+4=8 61．y=sin 3x+cos 3x, x ∈[ -π3π, ] 44 -π3π, 44 0，函数为增函数，没有驻点。在x ∈[0,4]上，最小值y=0，最大解：y =3sin 2xcosx-3co s 2xsinx=3sinxcosx（sinx-cosx ），令y =0，在x ∈[内，得驻点x=0，x= f （ ，x=。算出这些点和端点的函数值： 24 ）=0,f(0)=1,f()=,f()=1.f()=0,得最小值y=0，最大值y=1。 44422 62．y=arctan x ∈[0,1] 1+x 1-x 2x x (1+x ) 21 [1], 解：y =（=，令y =0，在x ∈0) =??222 21+x (1+x ) (1+x ) 2(1+x ) 1+() 1+x y 0，函数为增函数，得最小值y=0，最大值y= x ∈[-1,1] 解：y 最大值y=3。 64．y=x -(x -1) , x ∈(0,2) 解：y = 222(x -1) -x x -x (x 2-1) =?1，令y =0，在x ∈(0,2)有一个驻点 x 3(x 2-1) 3 ，）内，y 0 ，在（，2）内y （) 3 ，没有最小值。 2 65．y=x x , x ∈(0.1, +∞) 解：y =lnx+1?y =x x （lnx+1），令y =0，在x ∈(01. , +) ∞ 有一个驻点x= ，在（0.1，）内y 0，所以函数e e e 有最小值y=（ ) e ，没有最大值。 66．证明：若a1,则对于任意的x ∈[0,1]均有 x a +(1-x a ) ≥ 证明：设函数 f （x ）=x a +(1-x ) a ，f (x ) =ax a -1-a (1-x ) a -1，令f (x ) =0，对于任意的x ∈[0,1]，有x= 数有最小值y= ，在（0，）内y 0，所以函222 ，即证之。 a -1 67．试证面积为定值的矩形中，正方形的周长最短。 证明：设矩形的面积为s ，矩形的边长分别为a 和b ，周长C 为 C=2（a+b），又是s=ab， C=2（a+），根据实际情况，矩形面 积一定，一定存在一个周长最小值问题，即：C =2（1-2），令C =0，得s= a 2， 68．下水道的截面是矩形与半圆所构成，当截面为定值A 时，试问矩形的底为多少时，该截面的周长s 最短。 解：设矩形的底为 x ，其另一条边为y ，根据题意： 2A 2A x 2 C =1-2， A=xy+ π，而C=x+2y+ πx ，即C=x+ ，令C =0，x x 2 69．有一个半径为R 的圆形广场，在广场中心的上方设置一灯。问灯设有多高 使广场周围的环道最亮？已知当灯高为x 时，照明度y 有y=比例系数。 解：根据题意，照明度 y= k cos α ，而cos α=22 k cos α x 2+R 2 x (x 2+R ) kx (x 2+R ) k (x +R ) (x 2- x +R 2) 322，令y =0，得x -x +R =0，解得 2(x +R ) 1 70．一炮艇停泊在距海岸（设之为直线）9km 处，派人送信给设在海岸线上距该艇 的司令部，若送信人步行速率为5km/h，划船速率为4km/h，问他在何处上岸到达司令部的时间最短？ 解：如图设他在距司令部x km处上岸到达司令部的时间最短，所用全部时间为y ，则有 92+(15-x ) 2x y = 令y =0, 得:x=3,x=27(舍去) 根据实际情况知, 存在一个最小值问题, 故 当x=3时, 到达司令部的时间最短. 71．设有一个T 型通道，现在拟将一批长6米的管子由A 处移到B 处。移动时，要求管子与地面保持平行，若A 、B 处通道的宽度分别为2m 和3m ，试问这批管子能否按要求移位。 解:设MN 长l （m ），求线段l 的最小值，当 最小值≥6米，就能位移 +, α∈ 0,