第一章的课件1-2-1.ppt

一、全排列及其逆序数 二、对换 小结 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法. 共有 第二节 n 阶行列式的定义(I) 问题 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法2 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 解 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列. 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 定理2.1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 1 个不同的元素的所有排列种数为 4 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．