二次根式知识归纳.doc

二次根式知识归纳 一、知识结构图 二、重点梳理 （一）二次根式的有关概念 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．事实上（a≥0）表示非负数a的算术平方根（正数a的正的平方根叫做正数a的算术平方根。零的算术平方根是零）．如的算术平方根是 . 2．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 如等是最简二次根式.但等不是最简二次根式. 3．几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 叫做同类二次根式.如是同类二次根式. 4．把分母中的根号化去叫做分母有理化． 常用的有理化因式： （1）与； （2）与； （3）与 如与；与1-； 与. （二）二次根式的主要性质 （1）（a≥0）是一个非负数，即≥0（a≥0）； （2）()2=a (a≥0)；（3） ； （4）二次根式的乘法法则： （5）二次根式的除法法则： （三）二次根式的运算 （1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）。 （2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变。 三、特别关注 注意二次根式的双重非负性，它表示非负数a的算术平方 根.：(1)被开方数a必须是非负数. (2) 的结果是非负数. 即≥0（a≥0）. 2．注意二次根式的乘除法则的使用条件，及会逆用乘除法法则对二次根式进行化简即，但，因为分母为零时，分式无意义。 二次根式的加减的关键就是合并同类二次根式.为判断同类二次根式应先将二次根式化简，二次根式运算的结果也应尽可能化简. 在进行二次根式的混合运算时，要注意充分运用有理数（或式）的运算律、运算法则、乘法公式及借助有理式运算中的分解因式、通分、约分等方法，简化运算过程，提高运算速度。 四、思想方法 （一）类比思想：二次根式是在算术平方根的基础上引入的，二次根式的加减是类比合并同类项得到的。 （二）分类思想：对式子 的化简。 五、考点例析 考点1：算术平方根 例1（05南京）9的算术平方根是（ ） A．-3 B. 3 C. D.81 分析:因为9的平方根是,所以9的算术平方根是9的正的平方根3,故选B. 考点2: 最简二次根式 例2 (05哈尔滨市) 在下列根式中,最简二次根式的个数为( ) A．4个 B. 3 个 C. 2个 D.1个 分析: 是最简二次根式, 中有因式可以开出,中有因数可以开出，所以不是最简二次根式.故选C. 考点3: 同类二次根式 例3 (05北京市) 下列根式中,能与合并的是( ) A． B. C. D. 分析: 能与合并的应是的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次根式, 应先化为最简二次根式,=; ;;. 所以与是同类二次根式的是,故选B. 例4 (05青海省)若最简二次根式与的被开方数相同,则的值为( ) A． B. C. D.. 分析: 最简二次根式与的被开方数相同;即,解得. 故选C. 考点4: 二次根式的运算 例5 (06山东省东营市) 下列计算正确的是 ( ) A． B. C. D.. 分析: 由二次根式的性质和运算法则的. 而B选项中明显用被开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C选项用平方差公式即可得4－5 =－1; D选项丢了=-1这一项.故选A. 例6 （05江西省）化简得( ) A．-2 B. C. 2 D. 分析:由二次根式的性质和运算法则得,. 故选A. 考点5:分母有理化化简 例7 （06北京市）计算 分析：原式=. 考点6: 运用二次根式的性质化简 例8（06江西省）已知　　　　　　　　． 例9 （05绍兴）化简得（ ） A．2 B. C. －2 D.. 分析:由,所以 ==,故应选A. 考点7：二次根式成立的条件 例10 （06山西省课该实验区）代数式有意义时，字母的取值范围（　　） A． B. C. D.. 分析:由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以 即故选A 考点8：估算二次根式 例11 （06沈阳课改）估算的值为( ) A．在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D.在8和9之间. 分析：因为即，所以.故选C