全概率公式在数学模型中的应用..doc

概率统计模型 前面几章讨论的模型中，有关的量都假定为确定性的，即所研究的问题和与问题有关的因素都是确定的. 然而实际问题中常有许多不确定的因素起作用，特别是随机因素. 下面介绍几类涉及随机变量的模型. §8.1 库存问题 一、问题的背景与提出 工厂为了稳定的生产，需要贮存一定的原料或零部件；商店为了满足顾客的需要，要有足够的库存商品；银行为了进行正常的营业，需要一定的货币进行周转；医院为了手术的急需，血库必备充足血液. 总之库存问题是普遍存在的. 早在1915年, 哈里斯(Harris)对商业中的库存问题建立了一个简单模型，并求得了最优解, 但未被人们注意. 1918年威尔逊(Wilson)重新得出了哈里斯的公式, 并将其发展. 他们的模型都是确定性的, 二次大战后, 带有随机性因素的库存模型得到研究. 目前, 库存问题的兴趣已转到了多物品、多个库存点的理论. 二、模型假设 (1) 只考虑一种物品, 其需求是随机的, 需求量x是非负连续的随机变量，密度函数为φ(x), 分布函数为Ф(x); (2) 只考虑一个库存周期，即在库存周期开始时, 做一次决策, 决定进货量; (3) 瞬时供货; (4) 决策前原有库存量为I, 进货量为Q, 决策后的库存量为y=I+Q; (5) 费用包括订货费、存贮费和缺货费. 每次的订购手续费为K, 货物单价为p; 存贮费在周期末结算, 它与期末的库存量成正比, 比例系数为h（单位存贮费）, 缺货费与缺货量成正比, 比例系数为g（单位缺货损失）; (6) 决策的准则是期望总费用最小. 三、模型的建立与求解 库存问题有补充—库存—需求三个环节. 在这一系统中, 若一次进货量多, 进货的次数就少, 进货的费用就少, 但库存量大, 库存费用就大, 造成需求缺货就可能少, 缺货损失就会少; 若一次进货量少, 进货的次数就多, 进货费用就大, 但库存量小, 库存费用就小, 造成需求缺货就可能多, 缺货损失就会大. 如何协调这些矛盾, 使该系统在某种准则下运行最佳. 即如何确定进货量, 使其总费用最小. 进货费用为 存贮费用为 期望存贮费用为 缺货损失为 期望缺货损失为 记 L(y)=Ec2(y – x)+Ec3(x – y) (1) 则总费用为 （2） 目的是求 当需要进货时有 令 （3） 若S是使函数达到极小值的点, 则 (4) 设s为库存量进货点, 即当初始库存I0.204 所以S=40, Q=S–I=40–10=30 又因为 K+pS+L(S)=60+800×40+40×[(40–30)×0.2]+1015×[(50–40)×0.4+(60–40)×0.2]=40260 800×30+1015×[(40–30)×0.2+(50–30)×0.4+(60–30)×0.2]=40240≤K+pS+L(S) 所以s=30. 故存贮策略为每个阶段开始时检查存贮量I, 当I30吨时不必补充存贮; 当I≤30吨时补充存贮量到40吨. 例2 某市石油公司希望确定一种油的存贮策略, 以确定应贮存的油量. 该油的市场需求服从指数分布, 其密度函数为 该种油每近2元, 不需进货费. 由于油库归该公司管辖, 油池灌满与没灌满时的管理费用实际上没有多少差别, 故可以认为存贮费用为零. 如缺货就从邻市调用, 缺货费为3元/斤. 解 由模型假设K=0, h=0, p=2, g=3 计算 由 , 有 , 两端取对数解出 S≈405000 因 ps+L(s)=2s+ K+pS+L(S)= 由观察可知, 它有唯一解s=S. 所以当库存下降到405000斤以下就应进货, 使库存达到405000斤. 出现s=S, 是因为进货费为零, 可以频繁进货, 又存贮费为零, 存贮量多一些也不会增加费用. 五、模型讨论 由(3)可以看出, 缺货费g越大, 概率越大, 库存水平S应越大, 这是符合常识的. 根据假设(4), Q=S-s, 由(1), (5)经化简便为 （6） 在S确定的情况下(S由(4)可确定), 由(6)可求得Q, 进而可求出s. 如 由(4)可解出 由(6)有 简化后为 它可由数值方法或图解法求解, 由上式亦可求得Q的近似解, 当λQ较小时, 取 展开到二阶项, 此时可得到 , 则 §8.2 维修问题 一、问题的背景与提出 现实中许多系统在使用过程中, 往往由于维修性问题考虑不周,