中考题中与三角形有关的综合题.docx

中考题中与三角形有关的综合题 　　八年级上的几何内容包括全等三角形和轴对称这两章内容，对于这两章的学习，很多同学觉得有些吃力，原因是题目灵活性、复杂性都明显增强，尤其是遇到添加辅助线时无从下手，这就需要多做题，并总结基本方法，以及基本图形．下面从中考题中有关这两章内容的题目来谈谈如何解决这一类问题．经典例题透析类型一：构造法添加辅助线　　1．如图1，已知BD平分∠ABC，AC=BC，∠C=90°，AE⊥BD于E，判断AE与BD的数量关系并证明. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 1　　思路点拨： 题中BD平分∠ABC，且BD⊥AE，由此可以构造等腰三角形．延长AE，与BC延长线交于点O.　　易证△ABE≌△OBE ，可知△ABO是等腰三角形，AO=2AE，而可证△AOC≌△BDC，知AO=BD，进而知道BD=2AE．　　解析：BD=2AE，证明如下： 　　　　　延长AE，与BC延长线交于点O，如图2　　　　　∵BD平分∠ABC，　　　　　∴∠2=∠3.　　　　　∵AE⊥BD于E，　　　　　∴∠AEB=∠OEB=90°.　　　　　∵在△ABE和△OBE中，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 2　　　　　　　　　　∴△ABE≌△OBE（ASA） 　　　　　∴AE=OE， ∴AO=2AE.　　　　　∵∠C=90° 　　　　　∴∠ACO=∠BCD=90°，∠1+∠O=90°　　　　　∵∠2+∠O=90°， ∴∠1=∠2　　　　　∵在△AOC和△BDC中　　　　　　　　　　∴△AOC≌△BDC（ASA）　　　　　∴AO=BD　　　　　∴BD=2AE.　　总结升华：这种构造方法是一种常见的添加辅助线的方法　　2．如图3，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF 　　　　　　　　　　　　　　　　图 3　　思路点拨：　　（1）∠ADB与∠CDF这两个角不在任一对全等三角形中，因此直接证很困难，我们可以考虑构造全等三　 　　　角形，而且这两个三角形要含有∠ADB和∠CDF．在△CDF中，∠C=45°,因此另一个三角形中必含　 　　　有45°角．过A作AO ⊥BC于O，与BD交于点M，易证△ABM≌△CAF，AM=CF，接下来只须证　 　　　△AMD≌△CFD即可．　　（2）我们也可以将角进行转换，由已知AB=AC分析，可过C作CG⊥AC交AF延长线于G，就可以构造　 　　　△ACG≌△BAD，∠ADB=∠G，接下来只需证△CDF≌△CGF，得∠G=∠CDF即可．　　解析：（法一）过A作AO⊥BC于O，与BD交于点M，如图4　　　　　　　　　∵∠2+∠BAE=90°，　　　　　　　　　∠3+∠BAE=90°　　　　　　　　　∴∠2=∠3　　　　　　　　　∵∠1=∠C=45°，AB=AC　　　　　　　　　∵在△ABM和△CAF中　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△ABM≌△CAF(ASA) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 4　　　　　　　　　∴AM=CF　　　　　　　　　∵∠MAD=∠C=45°，AD=CD　　　　　　　　　∵在△AMD和△CFD中　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△AMD≌△CFD(SAS)　　　　　　　　　∴∠ADB=∠CDF.　　　　　　　　　（法二）过C作CG⊥AC交AF延长线于G，如图5　　　　　　　　　∴∠ACG=∠BAD=90°　　　　　　　　　∵∠2+∠1=90°，∠3+∠1=90°　　　　　　　　　∴∠2=∠3　　　　　　　　　∵在△ACG和△BAD中，　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△ACG≌△BAD（ASA）　　　　∴∠G=∠ADB，CG=AD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 5　　　　　　　　　∵D为AC中点，∴AD=CD， ∴CG=CD　　　　　　　　　　　　　　　　∵∠BAC=90°，AB=AC，∠ACG=90° ∴∠FCG=∠DCF=45°　　　　　　　　　　　　∵在△CDF和△CGF中　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△CDF≌△CGF（SAS）　　　　　　　　　∴∠G=∠CDF ，∴∠ADB=∠CDF.　　总结升华：当题目中的结论在现有图形中难以解决时，我们自然会考虑添加辅助线，而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一．类型二：在变化的图中探究同一类问题　　这类问题往往是方法的延续，而第一问是很容易入手的，因此对比第一问，利用第一问的方法就可以解决后面的问题．　　3．（1）如