《三 圆的切线的性质及判定定理》教案2.doc

《三 圆的切线的性质及判定定理》教案2 教学目标 1、理解切线的判定定理及性质定理； 2、熟练运用切线的判定定理及性质定理解决一些实际问题。 教学重难点 切线的判定定理及性质定理。 教学过程 圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”． 于是，切线具有如下性质： (1)切线与圆只有一个公共点； (2)切线与圆心的距离等于圆的半径； (3)切线垂直于过切点的半径； (4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点； (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质(3)、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多． 在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线． 应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题． (1)利用切线性质计算线段的长度 例1：如图，已知：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：OD的长． 解：连接OC．∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴△OPC为直角三角形． ∵PC=4，r=3， ∴OP=5．又OC2=OD·OP，即5·OD=9 说明：遇到切点，连半径是圆中常用添线的方法． (2)利用切线性质计算角的度数 例2：如图，已知：AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF．求：∠A的度数． 解：连接OC,∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.又AF⊥CD,∴AF∥OC,∴∠A=∠BOC．而OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴AF=BF，∴∠A=∠B，∴∠BOC=∠B=∠OCB，∴∠B=60°，则∠A=60° (3)利用切线性质证明角相等 例3：如图，已知：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠MCN=∠MDN． 证明：连接BD、CD．∵MN是⊙O的切线，∴AB⊥MN，又AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴在Rt△ABN中，BD⊥AN于D． ∴∠N=∠ABD=∠ACD ∴C、M、N、D四点共圆，则∠MCN=∠MDN． 说明：利用四点共圆，也是证明两角相等的方法之一． (4)利用切线性质证线段相等 例4：如图，已知：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE． 证明 连接OD．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD， ∴∠CDE＋∠ODA=90°．又CO⊥AB， ∴∠A＋∠AEO=90°． ∵AO=OD， ∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO=∠CED． 则CD=CE． (5)利用切线性质证两直线垂直 例5：如图，已知：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：DE⊥AC． 证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线．∴OD⊥DE，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB． ∴OD∥AC，则DE⊥AC．