3.圆的切线的性质及判定定理.ppt

三、 圆的切线的性质及判定定理 * * .O B A O r M 本节专门讨论直线与圆相切的情形. 我们知道,直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，这是从直线与圆的公共点个数刻画的. （1）直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交;(dr) （2）直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切;(d=r) （3）直线与圆没有公共点，称直线与圆相离.(dr) .O 相交 相切 相离 因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到： 1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． O. A 如图,点A是⊙O与直线 的公共点,且 ⊥OA .在直线 　上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△． A O B 2. 而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OBOA,即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此　是圆的切线．由此可得： 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： 1.经过半径的外端； 2.与半径垂直． 应用格式(几何语言): OA是⊙O的半径 OA⊥l于A l是⊙O的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线： 定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. O. A O. A B ３．应用： 例１　如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线． A O D E C B 证明：连接OD． ∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°. 又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线. 例２　如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB． A O D C B 证明：连接OC． ∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. ∴∠ACO＝ ∠CAD . 又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO ∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB． 例3　作经过一定点C的圆的切线． 思考：定点C在圆的什么位置？ C O O. C (1)点C在圆上． (２)点C在圆外． 作法：连接OC，过点C作AB⊥OC．则直线AB就是所要作的切线． B A 证明：直线AB经过点C，并且AB⊥OC．由切线的判定定理可知，AB就是⊙O的切线，切点是点C． 作法：连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1，与⊙O 相交于两点P和P′.连接CP和CP′,则CP和CP′都是过已知点C所引⊙O的切线． P P′ O1 证明：∵∠OPC是⊙O1内半圆上的圆周角， ∴∠OPC=90°. ∴PC⊥OP. 又∵OP是⊙O的半径，PC经过点C，∴PC就是所要作的切线. 同理，CP′也是所要作的切线. 课堂小结： 一 判定一条直线是圆的切线有三种方法 1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3，根据圆心到直线的距离等于半径 二 添辅助线的方法 则连接圆心与交点 则过圆心作直线的垂线段 1，已知直线与圆有交点， 2，没有明确的公共点， 练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：连结OB, ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A) =180°－(60°+30°) =90° ∴ AB是⊙O的切线. 题目中“半径”已有， 只需证“垂直”,即可 得直线与圆相切. C A B D O ∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°, ∴∠BOC＝60°. ∴△BOC是等边三角形.∴BD＝OB＝BC， ∠D＝∠BCD＝30°.∴∠DCO＝90°.∴DC⊥OC. ∴DC是⊙O的切线. 练习2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°,求证：DC是⊙O的切线. 证明：连OC、BC， 练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°.延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径,求证：DC是⊙O的切线. D C A B . O 300 300 1200 600 6