10-1．4　角平分线的性质 第2课时　角平分.pptx

第2课时角平分线的判定及其应用

1．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．三角形的三个内角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等．平分线上相等

如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于E.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE＝10，DE＝4，求AB的长．

【自主解答】(1)证明：过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，∴△CDE≌△CBF(AAS)，∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB.

(2)解：由(1)可得BF＝DE＝4，在Rt△ACE和Rt△ACF中，AC＝AC，CE＝CF，∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，∴AE＝AF＝10，∴AB＝AF－BF＝6.

【名师支招】一般情况下，欲证明某点在一个角的平分线上，总是转化为证明该点到该角的两边的距离相等或两个三角形全等．欲证明某个三角形的两边相等，总是转化为证明这两边所对的角相等或是证明这两边所在的两个三角形全等．

知识点一：角平分线的判定1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到AB，AC，BC的距离相等，凉亭的位置应选在()A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点D

2．如图是一个风筝骨架．为使风筝平衡，须使∠AOP＝∠BOP，已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足PC＝PD，才能保证OP为∠AOB的平分线．PC＝PD

3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，求证：∠1＝∠2.

证明：∵AD⊥OB，BC⊥OA，∴∠ACP＝∠BDP＝90°，又∵∠APC＝∠BPD，PA＝PB，∴△ACP≌△BDP(AAS)，∴PC＝PD，∴∠1＝∠2.

知识点二：三角形的角平分线的性质和判定综合4．如图，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求证：BD＝BF.

证明：∵AC⊥OD，AE⊥OF，AC＝AE，∴OA平分∠DOF，∵BD⊥OD，BF⊥OF，∴BD＝BF.

5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，M是AB上一点，MN⊥AC于点N，MB＝MN.若∠A＝40°，则∠BMC的度数为()A．20°B．25°C．40°D．65°D

6．已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝50°，则∠BOC＝115°.115°

7．如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请找出点P.

解：(1)作出∠BAC的平分线AD(2)连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.∴点P就是所求作的点．

8．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，求∠MAB的度数．

解：作MN⊥AD于点N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD.∴∠DAB＝180°－∠ADC＝70°.∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC.∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB.又∵MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠MAN＝∠DAB＝35°.?

9．(长沙期末)如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°.(1)∠ACE的度数为40°；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC＋CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．40°

(2)证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF.

(3)解：∵AC＋CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE＋S△CED＝AC·EN＋CD·EH＝(AC＋CD)·EM＝21，即×14EM＝21，解得EM＝3，????

∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB·EM＝×8.5×3＝.???